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que la variable a en ± ac nos indica cuál es el intervalo simple, ascendente o descendente, que se extiende a lo largo de c octavas, cosa que no sucede con la notación numérica tradicional, más allá de la primera octava de extensión.

      El lector habrá notado que la obtención informal del intervalo ordenado simplificado es sencilla. Basta con sumar mentalmente n octavas ascendentes o descendentes, dependiendo de la dirección del intervalo, a la nota de partida hasta ubicarla a menos de una octava de distancia de la nota de arribo, lo que nos da el valor de c en ac; después se obtiene el intervalo simple a.

      1.15. Intervalo no ordenado simplificado

      El intervalo no ordenado simplificado, al igual que el ordenado, se divide en cuatro casos:

      Caso 1. Sean las alturas ac, bd. Sean a ≥ b, c ≥ d.

      Caso 2. Las mismas alturas. Sean a ≤ b, c ≤ d.

      Caso 3. Las mismas alturas. Sean a > b, c < d (caso mixto).

      Caso 4. Las mismas alturas. Sean a < b, c > d (caso mixto).

      α) Para los dos primeros casos: i.s.{ac, bd} = |b - a||d - c|

      β ) Para los dos casos mixtos: i.s.{ac, bd} = (-|b - a|) mód. 12|d - c| - 1

      Los dos resultados anteriores se pueden condensar en la siguiente fórmula:

      i.s.{ac, bd} = ((-1)|b - a|) mód. 12|d - c| - (1)

      donde (-1) indica que se multiplica por -1 si y sólo si tenemos un caso mixto.

      -(1) indica que se resta -1 si y sólo si tenemos un caso mixto.

      Se puede apreciar que la definición de intervalo no ordenado simplificado es similar a la de intervalo ordenado simplificado, sólo que sin la función sgn (signo). Esto se debe a que dicha función es la que define la dirección ascendente o descendente del intervalo, la cual no opera en el intervalo no ordenado simplificado, ya que éste mide la distancia absoluta entre dos alturas que son consideradas como real o conceptualmente simultáneas.

      Nótese que, por definición, i.s.{ac, bd} = i.s.{bd, ac}, es decir, que el orden en el cual se escriban las dos alturas es irrelevante (lo que resulta imprescindible dado que éstas son simultáneas). Lo anterior también es posible gracias a la exclusión de la función sgn de la definición del intervalo no ordenado simplificado.

      Ahora veamos un ejemplo. Digamos que se desea obtener el intervalo simplificado entre las alturas simultáneas {43, 84}. Vemos que 4 < 8 y 3< 4, lo que nos indica que se trata de un ejemplo del caso 2. Sustituyendo las variables de la fórmula correspondiente a dicho caso por las alturas 43 y 84, se obtiene: i.s.{43, 84} = |8 - 4||4 - 3|. El resultado de las restas anteriores es: i.s.{43, 84} = 41, es decir, que la distancia absoluta entre las alturas 43 y 84 es de cuatro semitonos más una octava.

       EJEMPLO 20

      Se observa que el intervalo no ordenado simplificado, a diferencia de lo que sucedía con el intervalo no ordenado abordado en el punto 1.5, no se expresa con notación de valor absoluto; ésta resulta innecesaria, ya que el intervalo en sí carece de signo por el simple hecho de que la función sgn no figura en su definición.8

      En el ejemplo 21 tenemos cuatro intervalos no ordenados simplificados que corresponden a cada uno de los casos posibles. Debajo del pentagrama se presenta el procedimiento para su obtención. Nótese que en el caso 1 el intervalo simplificado no ordenado es empleado con alturas consecutivas, por lo que éstas son consideradas como “conceptualmente simultáneas”.9

       EJEMPLO 21

      EL INTERVALO NO ORDENADO SIMPLIFICADO REPRESENTADO EN SUS CUATRO CASOS

       Relaciones entre conjuntos

       2.1. Introducción al manejo de conjuntos

      El rompimiento con la tonalidad llevado a cabo por varios compositores a principios del siglo XX estableció una serie de retos en materia de estructuración sonora. Nuevos medios tuvieron que ser desarrollados con el fin de obtener una coherencia lineal y armónica que fuera independiente de la jerarquía derivada de las funciones armónicas y la conducción lineal del viejo sistema, así como de la omnipotencia de la tríada (a partir de cuya horizontalización, de acuerdo con Schenker, se generan las estructuras tonales en todos los niveles). Ya hacia el final de la primera década del siglo XX, Schoenberg y sus alumnos, Webern y Berg, habían empezado a establecer los fundamentos del nuevo universo sonoro.

      A manera de toma de contacto con el nuevo tipo de estructuración, empecemos por explorar en forma intuitiva el inicio de la primera de las tres piezas para piano op. 11, compuestas por Schoenberg en 1909.

       EJEMPLO 22

      EXPLORACIÓN INTUITIVA DEL INICIO DE UNA PIEZA ATONAL (ARNOLD SCHOENBERG. DREI KLAVIERSTÜCKE, OP. 11: Nº 1, CC. 1-8)

      Indudablemente, lo primero que salta a la vista son los puntos de contacto con la tradición presentes aún en el pensamiento schoenberguiano, entre los cuales destaca la textura homofónica de los tres primeros compases, con la melodía de claro perfil temático localizada en la mano derecha y el acompañamiento representado por dos acordes. También se puede apreciar la delimitación de la primera referencia temático-estructural de la obra dentro de un periodo “normativo” de ocho compases (los compases 9-11, no mostrados en el ejemplo, retoman el material temático de los compases 1-3, acompañados de un cambio de tiempo), que, sin embargo, rompe su simetría interna al estar dividido en dos frases de 3+5 compases.10

      A pesar de las consideraciones anteriores, no cabe la menor duda del carácter revolucionario del lenguaje, sobre todo tomando en cuenta que la pieza representa uno de los primeros esfuerzos, en la historia de la música occidental, por establecer un universo coherente libre de la influencia tonal. Por ejemplo, destaca el alto grado de saturación en el manejo de las clases de alturas, así como el control de la distribución de los 12 sonidos. De esta manera, la melodía de los compases 1-3 presenta seis sonidos diferentes (las c.a. B, 8, 7, 9, 5, 4) con apenas una repetición inmediata (la c.a 5 del segundo al tercer compás), mientras que los dos acordes que la acompañan aportan las nuevas c.a. 6, 1 y A (todas ellas ubicadas en las voces extremas, que es donde más destacan auditivamente), con lo que tenemos ya nueve c.a. diferentes en sólo tres compases. De las tres c.a. que faltan para completar el total cromático, dos de ellas, las c.a. 0 y 2, aparecen en las voces internas de las dos primeras díadas armónicas (una en cada mano) del compás 4, lo que evidencia una distribución simétrica del material. Además, ambas díadas sirven de presentación del material contrastante de los compases 4-8 y aparecen precedidas por silencios de cuarto que realzan su importancia estructural (a nivel local, por supuesto). El último sonido, la c.a. 3, queda reservado para hacer su aparición junto con el siguiente material contrastante, por lo que tendrá que esperar hasta el compás 12 (no incluido en el ejemplo), en donde servirá de bajo a un arpegio ascendente-descente que inaugurará una serie de parámetros, tales como la dinámica ppp, el uso de treintaidosavos,

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