Fundamentos teóricos de la música atonal - Hebert Vázquez

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entre x e y como i.a. <x, y> = y - x. La abreviatura i.a. significa “intervalo de altura” o, lo que es lo mismo, un intervalo que se localiza en el espacio-a. Los símbolos “<·>” indican que la información que contienen se encuentra ordenada de izquierda a derecha; en este caso, se trata de un orden cronológico.

      Si al realizar la resta y – x obtenemos un número positivo, significa que el intervalo entre x e y es ascendente; si el resultado es un número negativo quiere decir que el intervalo es descendente, y si da cero estamos ante un sonido repetido. Estos tres casos se encuentran incluidos en el ejemplo 4.

       EJEMPLO 4

      CLASIFICACIÓN DE INTERVALOS ORDENADOS ENTRE ALTURAS (NO SIMULTÁNEAS)

      Encima del pentagrama se indica el intervalo ordenado que relaciona a cada par de alturas; óbservese que, excepto por el 0, todos los intervalos van acompañados de un signo, incluso el intervalo ascendente localizado en a). De acuerdo con nuestra definición de intervalo ordenado, tenemos que en a) i.a.<5, 8> = 8 - 5 = +3; en b) i.a.<-3, -22> = -22 - (-3) = -22 + 3 = -19; en c) i.a.<1, -1> = -1-1 = -1 + (-1) = -2; en d) i.a.<31, 31> = 31 -31 = 0.

      1.5. Intervalo no ordenado

      El intervalo no ordenado se utiliza para medir la distancia absoluta entre dos alturas, por lo que el orden (cronológico) de éstas o la dirección (ascendente o descendente) del intervalo no son considerados en su aplicación. Dadas dos alturas x e y que sean real o conceptualmente simultáneas, entonces x - y e y - x producirán el mismo resultado, por lo cual se ignorará el símbolo numérico negativo (-), que necesariamente producirá alguna de las dos operaciones (por ejemplo, 3 - 2 = 1, mientras que 2 - 3 = -1), y se indicará el intervalo entre x e y con el símbolo de más/menos (±) o la notación de valor absoluto (|·|). De esta manera, el intervalo no ordenado entre las alturas x e y puede definirse como i.a.{x, y} = |y - x|. Aquí, las llaves ({·}) indican que los elementos que contienen no se encuentran ordenados, a diferencia de lo que ocurre con los ángulos (<·>). Nótese que la definición de intervalo no ordenado se deriva de la de intervalo ordenado, ya que i.a.{x, y} = |y - x| = |i.a.<x, y>|.

      Apéndice 1: Definición de valor absoluto de un número, ver punto A1.2.

       EJEMPLO 5

      CLASIFICACIÓN DE INTERVALOS NO ORDENADOS ENTRE ALTURAS SIMULTÁNEAS Y NO SIMULTÁNEAS

      En el ejemplo 5 a) tenemos las alturas simultáneas 6 y 14; de acuerdo con nuestra definición de intervalo no ordenado, 14 - 6 = |+8| ≡ 6 - 14 = |-8|, por lo que ambos resultados se representan simplemente como el intervalo no ordenado |8|.

      En b) tenemos que 23 - 12 = |+11| ≡ 12 - 23 = |-11|, por lo que el intervalo no ordenado entre las alturas simultáneas 12 y 23 será |11|. Como se comentaba anteriormente, también la distancia entre alturas no simultáneas se puede expresar por medio de intervalos no ordenados, si se considera a dichas alturas como conceptualmente simultáneas, tal y como ocurre en c) y d).

      En el ejemplo 6 podemos ver el uso de intervalos no ordenados en un fragmento de una pieza de Dallapiccola.

       EJEMPLO 6

      USO VERTICAL DE INTERVALOS NO ORDENADOS (LUIGI DALLAPICCOLA, QUADERNO MUSICALE DI ANNALIBERA, PARA PIANO: Nº 7-ANDANTINO AMOROSO E CONTRAPUNTUS TERTIUS, C. 1-4)

      Los intervalos no ordenados nos revelan que el pasaje está construido sobre una estructura palindrómica casi perfecta a nivel de las díadas armónicas (ver las líneas de correspondencia debajo del ejemplo). El único punto de rompimiento del diseño simétrico, que aparece señalado con una línea de puntos, es producto de la inversión del intervalo de la quinta díada (la inversión de |7| es |5|, ya que |7| + |5| = |12|, que es el intervalo no ordenado que representa a la octava). 2 Es interesante observar que, como consecuencia del rompimiento del diseño simétrico, todas las díadas de la segunda parte del palíndroma se erigen sobre un intervalo no ordenado diferente.

      En el ejemplo 6 se utilizaron los intervalos no ordenados para explorar pares de alturas simultáneas; en el siguiente ejemplo se establece una comparación entre el uso de intervalos ordenados y no ordenados en la catalogación de alturas lineales contiguas.

       EJEMPLO 7

      USO LINEAL DE INTERVALOS ORDENADOS Y NO ORDENADOS

      En el ejemplo 7 podemos ver un pequeño fragmento para violín. Debido a que el objetivo aquí es clasificar alturas lineales, los intervalos entre alturas simultáneas producto del uso de dobles cuerdas en los compases 2, 3 y 4 son ignorados. Se puede apreciar en este análisis comparativo que, si bien ambos tipos de intervalos expresan con igual precisión la distancia entre alturas adyacentes, el intervalo ordenado se caracteriza por reflejar el contorno lineal, mientras que el intervalo no ordenado se concentra en la distancia absoluta entre alturas inmediatas.

      1.6 Espacio de clases de alturas

      El espacio de clases de alturas, o espacio-c.a., es circular y contiene solamente 12 clases de sonidos. Esto se debe a que tanto la equivalencia enarmónica como la equivalencia de octava se encuentran activas (recordemos que en el espacio-a solamente la equivalencia enarmónica se encontraba activa). Al activarse la equivalencia de octava, automáticamente deja de ser operativo el concepto de registro.

      1.7. La altura en el espacio-c.a.

      Para entender la organización de las alturas en el espacio-c.a., será necesario definir primero el concepto clase. Las clases de equivalencia en lógica se utilizan para reunir o clasificar proposiciones con el mismo significado, a las cuales se considera, por lo tanto, equivalentes. Por ejemplo, si tenemos la proposición p = Son las doce y media, la clase de equivalencia de dicha proposición podrá incluir, entre otras, a las proposiciones q = Dentro de cinco minutos serán las doce treinta y cinco; r = Son las doce treinta; s = Hace tres horas y media eran las las nueve; t = Dentro de treinta y cinco minutos serán las trece horas con cinco minutos, ya que p ≡ q, p ≡ r, p ≡ s, p ≡ t.

      En el espacio-c.a., cada clase de altura representa la colección de aquellas alturas que son enarmónicamente equivalentes y/o se encuentran a distancia de una o más octavas. De esta manera, el espacio-c.a. genera 12 clases de equivalencias:

      Cada conjunto, que representa una clase de equivalencia, contiene puntos suspensivos en sus dos extremos, lo que indica que su contenido es potencialmente infinito. Toda altura perteneciente a una clase de equivalencia se encuentra relacionada por medio del intervalo +12 (la octava ascendente), con la altura adyacente ubicada a su derecha. Asimismo, todas las alturas contenidas en un mismo conjunto son consideradas equivalentes; de esta manera tenemos, por ejemplo, que -36 ≡ -12 ≡ 48 ≡ 0 ≡ 12 ≡ -24.

      Dado que cada clase de equivalencia contiene un número potencialmente infinito de alturas, es conveniente designar a una sola altura como su representante. El conjunto de representantes de las 12 clases de equivalencias

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