Fundamentos teóricos de la música atonal - Hebert Vázquez

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total de la información teórica para abordarlo, sino que el lector es avisado cuando ya cuenta con la información suficiente para acometer cualquiera de sus tres análisis.

      AGRADECIMIENTOS

      Agradezco profundamente a Arturo Érdely su colaboración en las definiciones matemáticas relacionadas con la nueva notación de alturas e intervalos en el espacio-a, así como sus aportaciones en torno a la red de transformaciones y relaciones del capítulo 6. También ha resultado imprescindible la contribución de Julio Vargas, quien llevó a cabo la definición formal de los operadores dodecafónicos en el espacio-a, empleando la nueva notación, y dio los toques finales a la representación de alturas e intervalos, tomando como punto de partida el trabajo que yo había realizado previamente en colaboración con Arturo Érdely. Agradezco, asimismo, el apoyo proporcionado por el Consejo Nacional para la Cultura y las Artes (Conaculta), por medio del Sistema Nacional de Creadores de Arte (SNCA), del cual soy Creador Artístico.

       Definiciones básicas

      1.1. Espacio de alturas

      En este capítulo discutiremos el parámetro de la altura, o frecuencia, así como los tipos de relaciones interválicas susceptibles de ser generadas a partir del mismo, dentro del sistema temperado. Para ello, primero será necesario definir dos tipos de espacios generadores que fijarán reglas de comportamiento a partir de las cuales las alturas y sus relaciones interválicas podrán ser formalizadas, y que servirán de marco referencial para la futura interpretación teórico-analítica del material musical. El primero que estudiaremos es el espacio de alturas, o espacio-a. Se trata del espacio lineal tradicional de alturas dividido en 12 sonidos por octava, en el cual cada sonido se encuentra a distancia de semitono con respecto del sonido inmediato inferior y superior, como en la escala cromática. Dos axiomas definen la altura en el espacio-a: la equivalencia enarmónica y la no equivalencia de octava. El que la equivalencia enarmónica se encuentre activa significa, por ejemplo, que el Fa índice 5, el Mi sostenido índice 5 y el Sol doble bemol índice 5 son equivalentes, lo que denotaremos como “F5 ≡ E#5≡Gbb5”; lo mismo sucede con F#3 ≡ Gb3, D7 ≡ Ebb7, etc. El que la equivalencia de octava permanezca inactiva significa, por ejemplo, que D5

D6 (el Re índice 5 y el Re índice 6 no son equivalentes), Ab2
Ab7, D#5
Eb3, etc.

      Apéndice 1: Para una definición elemental de la relación de equivalencia en lógica, véase punto A1.1.

      1.2. La altura en el espacio-a

      En el espacio-a (espacio de alturas), las alturas son representadas por medio de números enteros, positivos y negativos. Debido a que el intervalo entre alturas contiguas dentro la escala cromática es siempre constante en el sistema temperado, se le asignará el valor de la diferencia mínima entre dos enteros (el número 1) a la diferencia mínima entre dos alturas (el semitono, en la teoría tradicional).

      Se ha convenido que el C5 (el Do central) reciba el valor 0. Toda altura que se encuentre por debajo de dicho Do será clasificada con un número negativo que corresponderá a la cantidad de semitonos descendentes que la separen del 0, mientras que toda altura ubicada por encima del mismo recibirá un número positivo determinado por el número de semitonos ascendentes que la separen del 0.

       EJEMPLO 1

      REPRESENTACIÓN NUMÉRICA DE LAS ALTURAS EN EL ESPACIO-A

      En el ejemplo 2 se pueden observar las propiedades de equivalencia enarmónica y no equivalencia de octava, características del espacio-a, expresadas por medio de notación musical y números enteros.

       EJEMPLO 2

      a) Equivalencia enarmónica

      b) No equivalencia de octava

      Si bien a primera vista puede parecer complejo tener que asignar un número entero a cada frecuencia audible de la gama cromática, existen dos factores que, en la práctica, lo facilitan considerablemente. En primer lugar, hay que considerar que, con excepción de las alturas comprendidas dentro del índice 5, no será necesario memorizar, sino calcular, los números correspondientes a las diversas alturas. En segundo lugar, el procedimiento para localizar numéricamente una altura determinada es muy simple, por lo cual se puede realizar mentalmente.

      Para localizar alturas con números positivos se toma como referencia al 0 (o Do 5) y se le suman n veces 12 (el intervalo de la octava), hasta mapearlo con el Do que comparta el mismo índice acústico con la altura que se desee obtener (“mapear” significa transformar un objeto en otro por medio de una operación determinada), y se le suma el intervalo simple correspondiente. Si se quiere localizar el Ab7, por ejemplo, llevamos a cabo la siguiente suma: 0 (C5) + 12 + 12 (dos octavas) = 24 (C7); 24 + 8 (intervalo de sexta menor) = 32 (Ab7). Para obtener, por ejemplo, el Eb6: 0 + 12 = 12 (C6); 12 + 3 (intervalo de tercera menor) = 15 (Eb6) (ver la tabla con la representación numérica de los intervalos simples que aparece en el ejemplo 3).

      Para localizar alturas con números negativos también se tomará como referencia al 0, al cual se le sumará n veces -12 hasta mapearlo en el Do que se ubique un índice acústico por encima de la altura que se desee obtener, y se le restará el intervalo simple correspondiente. Para localizar el F3, por ejemplo, llevamos a cabo la siguiente operación:

      0 + (-12) = -12 (C4); -12 + (-7) (intervalo de quinta justa) = -19 (F3). Si se desea obtener, por ejemplo, el D4: 0 + (-10) (intervalo de séptima menor) = -10 (D4).

      Apéndice 1: Reglas referentes a las operaciones de suma y resta de enteros positivos y negativos, ver punto A1.3.

      1.3. Tipos de intervalos del espacio-a

      Un intervalo, como ya se ha señalado, representa la distancia o espacio entre dos alturas, medida en semitonos y expresada en números enteros. Indicar los intervalos en forma numérica nos permite evitar la nomenclatura tradicional, que fue concebida para expresar la lógica tonal. Por ejemplo, los términos como “tercera menor” o “mayor” hacen alusión a los modos correspondientes, así como a los grados de la escala diatónica (una tercera es un intervalo que recorre tres grados de la escala diatónica), dos referencias carentes de significado en el contexto atonal.

      En el ejemplo 3 aparece una tabla con los intervalos simples (los que no superan el ámbito de la octava) y su representación numérica correspondiente. Por su importancia, se aconseja memorizarlos.

       EJEMPLO 3.

       Intervalos simples

      El espacio-a es capaz de generar dos tipos de intervalos: el intervalo ordenado, en el que se enfatiza la dirección, ascendente o descendente, del mismo, y el intervalo no ordenado, que mide el espacio absoluto entre dos alturas.

      1.4. Intervalo ordenado

      El intervalo ordenado se utiliza únicamente para medir la distancia entre alturas no simultáneas. Si tenemos dos alturas

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