LITMIR.BIZ

      Apéndice 1: Para obtener una perspectiva algebraica básica en lo que respecta a las relaciones de equivalencia y otras definiciones relacionadas, ver punto A1.5 (previa lectura del punto A1.4, en caso de no encontrarse familiarizado con la notación utilizada en lógica y teoría de conjuntos).

      1.8. El módulo 12 aritmético

      El espacio-c.a. es un ejemplo de la aplicación del módulo 12 aritmético; otro ejemplo, éste de uso común, sería el de los 12 números de la carátula del reloj. La aritmética del módulo 12 nos ayudará a entender mejor el espacio-c.a., con sus 12 clases de alturas, así como a llevar a cabo operaciones de “traducción” de alturas individuales provenientes del espacio-a (algunos aspectos interválicos del uso del módulo 12 son discutidos también en el punto 1.10).

      El módulo 12 aritmético contempla únicamente el uso de 12 números enteros, por lo que cualquier entero que se encuentre fuera del rango de esos 12 números tendrá que ser convertido por medio de múltiplos de 12. En el caso del espacio-c.a., sabemos que los 12 enteros representan a las c.a. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7, 8, 9, A y B. Así, para convertir la altura 18 (F#6, dentro del espacio-a) en una clase de altura por medio del módulo 12, se le sustraerá 12: 18 -12 = 6. El entero 6, a diferencia del 18, se encuentra incluido en conjunto de representantes de las 12 clases de equivalencias disponibles en el espacio-c.a., y corresponde a la c.a. F# (sin número de índice acústico, por supuesto).

      Como ya sabemos, otros ejemplos de alturas (dentro del espacio-a) que se incorporarían a la c.a. 6 (dentro del espacio-c.a.) al ser convertidas al módulo 12, serían -18, 30, -6, etc. (recordemos que -18 + 12 + 12 = 6, 30 -12 - 12 = 6, y -6 + 12 = 6). Esta lógica de conversión también se encuentra presente en nuestra forma de medir el tiempo. Así, en la carátula del reloj las 14 horas aparece representada por el número 2 (14 - 12 = 2; en otras palabras, 14 hrs. ≡ 2 p.m.); las 18 hrs. aparecen representadas por el número 6 (18 - 12 = 6), etc. De hecho, la representación geométrica de las 12 clases de alturas en el espacio-c.a. es similar a la de las 12 horas en la carátula del reloj, con la diferencia de que el número 12 es sustituido por el 0.

       EJEMPLO 9

      REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DOCE CLASES DE ALTURAS EN EL ESPACIO-C.A.

      1.9. Tipos de intervalos del espacio-c.a.

      En el espacio-c.a. existen dos tipos de intervalos que son semejantes a los intervalos ordenados y no ordenados del espacio-a; se trata de los intervalos ordenados de clase de altura y los intervalos no ordenados de clase de altura (a este último tipo también se le conoce como clase de intervalo y se le abrevia como “c.i.”).

      1.10. Intervalo ordenado de clase de altura

      El intervalo ordenado de c.a., al que también se le llama simplemente intervalo, se utiliza para medir la distancia entre clases de alturas no simultáneas. Es importante señalar que los intervalos entre las 12 clases de alturas no serán ascendentes ni descendentes, ya que no hay que olvidar que el concepto de registro no existe en el universo circular del espacio-c.a. Debido a que la equivalencia de octava en el espacio-c.a. excluye la posibilidad de un intervalo mayor a 11 (representado en nuestro sistema por la letra B), sólo se contará con 12 intervalos diferentes. Los intervalos que hasta ahora eran representados con números negativos deberán ser convertidos al módulo 12 por medio de sus correspondientes intervalos complementarios positivos, como se indica en el ejemplo 10.

       EJEMPLO 10.

      Conversión de enteros negativos a enteros positivos (mód. 12)

-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8	-9	-A	-B
B	A	9	8	7	6	5	4	3	2	1

      El proceso para la obtención de intervalos ordenados es muy parecido al que se siguió anteriormente para generar intervalos ordenados en el espacio-a: dadas dos clases de alturas, se le sustrae la primera a la segunda, lo cual representamos como i.<x, y> = y- x (mód. 12).

      De esta manera, el intervalo ordenado de c.a. entre 6 y 8 será i.<6, 8> = 2 (ya que 8 - 6 = 2); entre 8 y 6 será i.<8, 6> = A (ya que 6 - 8 = -2 = A, como se señala en el ejemplo 10); entre 0 y 8 será i.<0, 8> = 8 (ya que 8 - 0 = 8) y entre 8 y 0 será i.<8, 0> = 4 (ya que 0 - 8 = -8 = 4, como se señala en el ejemplo 10). 4

      Resultará más claro si ubicamos gráficamente los cuatro ejemplos anteriores en el universo circular del espacio-c.a., con sus 12 clases de alturas.

      En el caso de i.<6, 8> = 2, el intervalo 2 expresa el desplazamiento de la c.a. 6 a la c.a. 8:

      En el caso de i.<8, 6> = A, el intervalo A expresa el desplazamiento de la c.a. 8 a la c.a. 6:

      En el caso de i.<0, 8> = 8, el intervalo 8 expresa el desplazamiento de la c.a. 0 a la c.a. 8:

      Mientras que en el caso de i.<8, 0> = 4, el intervalo 4 expresa el desplazamiento de la c.a. 8 a la c.a. 0:

      En todos los casos anteriores, los enteros 0, 1, ..., B representan las 12 c.a. del módulo 12 y los enteros entre paréntesis indican el número de semitonos que recorre cada intervalo en su trayecto de una c.a. a otra. Obsérvese que todos los recorridos interválicos entre clases de alturas se llevan a cabo en el sentido de las manecillas del reloj.

      Recordemos que el concepto de registro es ajeno a la estructura del espacio-c.a., por lo que el intervalo ordenado i.<6, 8> = 2, por ejemplo, define a cualquiera de los pares de c.a. del ejemplo 11, entre otros.

       EJEMPLO 11

      ALGUNAS DE LAS POSIBILIDADES REPRESENTACIONES EN EL PENTAGRAMA DE LA APLICACIÓN DEL INTERVALO ORDENADO DE CLASE DE ALTURA I.<6, 8>=2

      1.11.

Скачать книгу