Fundamentos teóricos de la música atonal - Hebert Vázquez

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intervalo no ordenado de clase de altura, también conocido como clase de intervalo o c.i., se utiliza para medir la distancia entre clases de alturas que sean real o conceptualmente simultáneas. Aquí, encontraremos que x - y e y - x nos dan el mismo resultado, como sucedía con los intervalos no ordenados en el espacio-a; sin embargo, en este caso no será necesario recurrir a la notación de valor absoluto para la representación numérica de la c.i., ya que en el espacio-c.a. no hay enteros negativos. Debido a la ausencia del parámetro de registro, producida por la distribución circular del espacio-c.a., se recurrirá siempre a la distancia más pequeña entre dos sonidos simultáneos para representar su clase de intervalo. Por lo tanto, ahora diremos que x - y e y -x pertenecerán ambos a la clase de intervalo z, de forma que z sea igual al que resulte menor de los dos intervalos x - y e y - x, dentro del mód. 12. Podemos representar lo anterior definiendo el mínimo de dos cantidades; dados los intervalos x e y, tenemos que:

      Por ejemplo el mín{3, 7} = 3, ya que 3 < 7. Ahora podemos definir la clase de intervalo entre las c.a. x e y como: i.{x, y} = mín{i.<x, y>, i.<y, x>}. Nótese que aquí, al igual que en el espacio-a, se está definiendo el intervalo no ordenado en función del intervalo ordenado5

       EJEMPLO 12

      GENERACIÓN DE LA C.I. A PARTIR DEL PRINCIPIO DEL “INTERVALO MÁS PEQUEÑO”

      En el ejemplo 12 a) se ilustra el proceso para la obtención de la clase de intervalo entre las c.a. simultáneas 2 y 7 que aparecen en el primer compás. En los compases 2 y 3 se muestran los dos ordenamientos posibles que pueden tener dichas c.a., así como los intervalos ordenados que generan. Podemos apreciar que mín{i.<7, 2>, i.<2, 7>} = 5, ya que 5 < 7, por lo que 5 es la c.i. que mapea entre sí a las c.a. del compás 1, como se señala en el compás 4 del mismo ejemplo 12 a). Los intervalos ordenados i.<7, 2> = 7; i.<2, 7> = 5 (representados ambos por la c.i. 5) correspondientes a los compases 2 y 3, respectivamente, se encuentran también expresados de manera gráfica en el universo circular del espacio-c.a., debajo del pentagrama.

      En el ejemplo 12 b) se lleva a cabo el mismo procedimiento con las c.a. 3 y 4. Se puede apreciar que la suma de cada par de intervalos pertenecientes a una misma c.i. siempre da como resultado 0 (mód. 12). En el caso del ejemplo 12 a), tenemos que 7 + 5 = 0 (mód. 12), mientras que en 12 b), 1 + B = 0 (mód. 12). Gráficamente, esto se traduce siempre en dos recorridos complementarios cuya unión es exactamente igual al recorrido total de la circunferencia del espacio-c.a. (véanse las gráficas de los ejemplos 12 a) y 12 b). La única c.i. cuyos dos intervalos expresan recorridos equidistantes en la circunferencia del espacio-c.a. es la c.i. 6, ya que 6 + 6 = 0 (mód. 12). Este caso se ilustra en el ejemplo 12 c).

      En el ejemplo 13 se muestran las seis diferentes clases de intervalos que genera el espacio-c.a., acompañadas de los intervalos (ordenados) individuales que las conforman.

       EJEMPLO 13

      CLASES DE INTERVALOS CON INTERVALOS INDIVIDUALES INCLUIDOS

      Es común en el pensamiento musical del siglo XX, concebir el material sonoro dentro de la dimensión del espacio-c.a. Como muestra de esto reconsideremos el pasaje presentado en el ejemplo 7.

       EJEMPLO 14

      APLICACIÓN LINEAL DE INTERVALOS ORDENADOS Y NO ORDENADOS EN EL ESPACIO-A Y C.A.

      La perspectiva interválica ofrecida por el espacio-c.a. nos revela la existencia de una simetría estructural subyacente. Se trata de un palíndroma, similar al analizado anteriormente en el ejemplo 6. En el caso del ejemplo 14, el eje de simetría está representado por el intervalo 4 y la clase de intervalo 4 que separan a la última nota del primer sistema de la primera nota del segundo. Se puede apreciar que los intervalos y clases de intervalos ubicados en posiciones equidistantes a ambos lados de dicho eje coinciden:

      En el ejemplo 14, esta estructura palindrómica pasa totalmente inadvertida en el análisis interválico del espacio-a, debido a que es obstaculizada por la intervención del parámetro de registro (inactivo en el espacio-c.a.). Esto no quiere decir que las herramientas interválicas del espacio-a sean menos poderosas o precisas que las del espacio-c.a. Como ejemplo de lo contrario, basta con revisar el ejemplo 6, en el cual dichas herramientas revelaron perfectamente el diseño estructural subyacente. Se trata más bien de herramientas diferentes, altamente especializadas, que adquieren relevancia en la medida en que el espacio dentro del cual se desenvuelve el discurso musical las ratifique. Si en el pasaje del ejemplo 14 se buscara establecer una comparación estadística entre los intervalos simples y compuestos, o definir aspectos del contorno melódico, tales como la ubicación de los puntos climáticos interválicos o de registro, entonces la información interválica del espacio-a sería el vehículo adecuado.

      1.12. Una nueva notación para el espacio-a

      La notación numérica de alturas e intervalos en el espacio-a, expuesta en los puntos 1.2 a 1.5, es la que se emplea cotidianamente en la teoría anglosajona de la música atonal, por lo que se ha considerado imprescindible ponerla al alcance del lector. Esta notación, sin embargo, presenta algunos inconvenientes.. 6

      En lo que se refiere a las alturas, la notación funciona muy bien dentro del índice acústico 5, esto es, de las alturas 0 a 11, debido a que éstas tienen la misma representación numérica que las 12 clases de alturas del espacio-c.a., sin las letras A y B, por supuesto. Sin embargo, a medida que las alturas se alejan, ascendente o descendentemente, de esta octava central, su ubicación se va volviendo confusa y difícil de representar mentalmente, sin la ayuda del pentagrama. Por ejemplo, si pensamos por un momento en las alturas 33, 41, -19 o -21, por nombrar sólo algunas al azar, resulta evidente que las dos primeras son frecuencias altas y las dos últimas frecuencias bajas. No obstante, ubicarlas con precisión como La índice 7, Fa índice 8, Fa y Mi índice 3, respectivamente, no se da inmediatamente como una consecuencia natural de la notación, sino que requiere de un esfuerzo mental adicional.

      Algo parecido sucede con la notación numérica de los intervalos. En este caso, se privilegia a los intervalos simples, que resultan fáciles de manejar, sobre los compuestos. Los números +19, +30 y |21|, por ejemplo, indican que se trata de intervalos amplios, pero difícilmente evidencian su cualidad sonora, en caso de no contarse con el apoyo de la notación musical.

      En los siguientes puntos del capítulo, se expondrá una nueva notación numérica para los intervalos y alturas, la cual será la empleada en el resto del libro. Esto se hace con la esperanza de que su manejo, al que consideramos más sencillo y más cercano a la intuición musical del lector que el de la notación anglosajona convencional, justifique el riesgo que se asume al alejarse de ésta, dado que su uso es generalizado.

      La nueva notación no modifica las caracterísiticas del espacio-a: se sigue tratando de un espacio lineal de 12 alturas por octava, ubicadas a distancia de semitono con respecto al sonido inmediato inferior y superior. Los axiomas de equivalencia enarmónica y no equivalencia de octava siguen vigentes.

      1.13.

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