Fundamentos teóricos de la música atonal - Hebert Vázquez

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una clase de altura â puede ser expresada como:

      â = {x|x = 12q + a}, con a, q ∈ Z, donde Z es el conjunto de los enteros, y 0 ≤ a ≤ 11.

      Otra clase de altura sería:

      ĉ = {y|y = 12p + c}, donde c, p ∈ Z, 0 ≤ c ≤ 11.

      Esto nos permite convertir cualquier altura a una clase de altura. Tomemos, por ejemplo, las alturas 0, 20, -22, 35 y -6 que, expresadas como c.a., nos dan: 0 = 12(0) + 0 ∈ 0^; 20 = 12(1) + 8 ∈ 8^ ; -22 = 12(-2) + 2 ∈ ^2; 35 =

      12(2) + B ∈ B^ ; -6 = 12(-1) + 6 ∈ ^6. Estos resultados se muestran en el

      ejemplo 15.

       EJEMPLO 15

      CONVERSIÓN DE ALTURAS A CLASES DE ALTURAS

      Volviendo a nuestras dos c.a., â = {x|x = 12q + a} y ĉ = {y|y = 12p + c}, definidas un poco más arriba, se propone ahora escribir una altura x ∈ â, como x ≡ âd, donde d = q + 5. Análogamente denotaremos una altura y∈ ĉ , como y ≡ ce, donde nuevamente e = p + 5. La altura âd nos indica que se trata de la c.a. â en el índice acústico d. 7

      Al “traducir” las alturas 0, 20, -22, 35 y -6 del ejemplo 15 a la nueva notación, obtenemos: 0 = 12(0) + 0 ≡ 0(0+5) = 05; 20 = 12(1) + 8 ≡ 8(1+5) = 86; -22 = 12(-2) + 2 ≡ 2(-2+5) = 23; 35 = 12(2) + B ≡ B(2+5) = B7; -6 = 12(-1) + 6 ≡ 6(-1+5) = 64.

       EJEMPLO 16

      ALTURAS DEL EJEMPLO 15 EXPRESADAS POR MEDIO DE DOS NOTACIONES

      A diferencia de lo que sucede con la notación convencional, la nueva notación es fácilmente descifrable en cualquier registro. Esto se debe, por un lado, a que toda altura ad, al ser transferida de octava, mantiene invariante el valor de a. Por otro lado, el valor de d en ad resultará evidente para el músico con formación académica, acostumbrado al manejo de los índices acústicos.

      El ejemplo 17 ilustra la equivalencia enarmónica y no equivalencia de octava, propias del espacio-a, expresadas por medio de notación musical y de la nueva notación numérica de la altura.

       EJEMPLO 17

      DOS PROPIEDADES DEL ESPACIO-A, EXPRESADAS MEDIANTE LA NUEVA NOTACIÓN DE LA ALTURA

      a)Equivalencia enarmónica

      b)No equivalencia de octava

      1.14. Intervalo ordenado simplificado

      El intervalo ordenado simplificado en el espacio-a, al que podemos abreviar como “i.s.”, se indica por medio de un entero que representa un intervalo simple (menor a la octava), cuyo valor numérico se encuentra definido, por lo tanto, para 0, 1, 2, ..., 11 (con el objeto de mantener homogénea la notación, continuaremos escribiendo 10 como A y 11 como B). A éste entero se le agrega un subíndice que precisa el número de octavas a través de las cuales se extiende el intervalo.

      Pero antes de abordar el intervalo ordenado simplificado será necesario definir la función “signo” (sgn).

      Sea Z el conjunto de los números enteros y x cualquier entero (x ∈ Z).

      La función sgn mapea a todo Z en {-1, 0, 1}, lo que denotamos como:

      sgn:Z→ { -1,0,1 }

      Así , por ejemplo, tenemos que sgn(-8) = -1, sgn(0) = 0 y sgn(4) = +1.

      Ahora es posible definir el intervalo ordenado simplificado en función de los cuatro casos que se muestran a continuación.

      Caso 1. Sea la secuencia ordenada de alturas ac, bd. Sean a ≥ b, c ≥ d.

      Caso 2. La misma secuencia de alturas. Sean a ≤ b, c ≤ d.

      Caso 3. La misma secuencia de alturas. Sean a > b, c < d (caso mixto).

      Caso 4. La misma secuencia de alturas. Sean a < b c > d (caso mixto).

      En resumen, los resultados son:

      α ) Para los dos casos mixtos: i.s.<ac, bd> = S(-|b - a|) |d - c|8

      β ) Para los dos casos mixtos: i.s.<ac, bd> = S(-|b - a|) mód.12|d - c| - 1 donde S = sgn(d - c)

      y mód. 12 significa que lo que está entre paréntesis se calcula por medio de la aritmética mód. 12.

      Los dos resultados anteriores se pueden condensar en la siguiente fórmula: i.s.<ac, bd> = S((-1)|b - a|) mód. 12|d - c| - (1)

      donde (-1) indica que se multiplica por -1 si y sólo si tenemos un caso mixto.

      -(1) indica que se resta -1 si y sólo si tenemos un caso mixto.

      Digamos que nos interesa obtener el intervalo simplificado entre las alturas <56, A5>. Se puede apreciar que 5 < A y 6 > 5, por lo que estamos ante un caso mixto. Procedemos entonces a sustituir las variables de la fórmula correspondiente al caso mixto por las alturas 56 y A5: i.s.<56, A5> = S(-|A - 5|) mód. 12|5 - 6| - 1. Al realizar las operaciones indicadas obtenemos: S(-|5|) mód. 12|-1| - 1. Ahora bien, -5 (mód. 12) = -5 + 12 = 7 y, en lo que respecta a la operación señalada en el subíndice, tenemos que |-1| - 1 = 1 - 1 = 0, lo que nos da: S(7)0. Sólo resta saber si el intervalo es ascendente o descendente, para lo cual será necesario obtener el valor de S. La definición de caso mixto nos dice que S = sgn(d - c), lo que en nuestro caso nos da: S = sgn(5 - 6). Como 5 - 6 = -1, tenemos que S = sgn(-1). Vemos que el signo de -1 es menos (-), por lo que S será sustituido por dicho signo: S(7)0 = -70. Por lo tanto, i.s.<56, A5> = -70, es decir, que para ir de la altura 56 a la altura A5 se debe de descender siete semitonos (y ninguna octava), como se muestra en el ejemplo 18.

       EJEMPLO 18

      i.s. <56, A5>=70

      En el ejemplo 19 tenemos cuatro intervalos ordenados simplificados que corresponden a cada uno de los casos posibles. Debajo del pentagrama se desglosa el procedimiento para su obtención.

       EJEMPLO 19

      EL INTERVALO ORDENADO SIMPLIFICADO REPRESENTADO EN SUS CUATRO CASOS

      Una característica fundamental de la nueva notación es que, independientemente de la extensión

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