Mathematik für Ingenieure II für Dummies - J. Michael Fried

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alt="f colon upper D left-parenthesis f right-parenthesis subset-of-or-equal-to double-struck upper R right-arrow double-struck upper R"/> eine reelle Funktion, dann heißt x 0 element-of upper D left-parenthesis f right-parenthesis eine globale Maximalstelle von f, falls

f left-parenthesis x 0 right-parenthesis greater-than-or-equal-to f left-parenthesis x right-parenthesis f modifying above u with double dot r alle x element-of upper D left-parenthesis f right-parenthesis

      ist. Gilt für eine Stelle x 0 element-of upper D left-parenthesis f right-parenthesis:

f left-parenthesis x 0 right-parenthesis less-than-or-equal-to f left-parenthesis x right-parenthesis f modifying above u with double dot r alle x element-of upper D left-parenthesis f right-parenthesis comma

      dann heißt x 0 eine globale Minimalstelle von f.

      Der Funktionswert f left-parenthesis x 0 right-parenthesis an einer globalen Extremstelle x 0 heißt globales Minimum beziehungsweise globales Maximum von f.

      Ein x 0 element-of upper D left-parenthesis f right-parenthesis heißt globale Extremalstelle von f, wenn es eine globale Minimal- oder Maximalstelle ist.

      Lokale Extremstellen sind solche, bei denen der Funktionswert zwar größer (oder kleiner) ist als alle anderen Funktionswerte in der Nähe, aber nicht unbedingt der größte (oder kleinste) Funktionswert, der überhaupt auftritt – sozusagen ein Berggipfel, der nicht unbedingt der höchste Berg des Gebirges sein muss.

Ist f colon double-struck upper R right-arrow double-struck upper R eine reelle Funktion mit Definitionsbereich upper D left-parenthesis f right-parenthesis subset-of-or-equal-to double-struck upper R, dann heißt x 0 element-of upper D left-parenthesis f right-parenthesis lokale Maximalstelle von f, falls es ein epsilon greater-than 0 gibt, sodass für alle x element-of upper U Subscript epsilon Baseline left-parenthesis x 0 right-parenthesis intersection upper D left-parenthesis f right-parenthesis gilt: f left-parenthesis x 0 right-parenthesis greater-than-or-equal-to f left-parenthesis x right-parenthesis.

      Ein Punkt x 0 element-of upper D left-parenthesis f right-parenthesis heißt lokale Minimalstelle von f, falls es ein epsilon greater-than 0 gibt, sodass für alle x element-of upper U Subscript epsilon Baseline left-parenthesis x 0 right-parenthesis intersection upper D left-parenthesis f right-parenthesis gilt: f left-parenthesis x 0 right-parenthesis less-than-or-equal-to f left-parenthesis x right-parenthesis.

      Der Funktionswert f left-parenthesis x 0 right-parenthesis heißt lokales Maximum beziehungsweise lokales Minimum von f.

      Ein x 0 element-of upper D left-parenthesis f right-parenthesis heißt lokale Extremalstelle von f, wenn es eine lokale Minimal- oder Maximalstelle ist.

      Die Bestimmung von Extremstellen beruht auf einigen grundlegenden Eigenschaften lokaler Maxima beziehungsweise lokaler Minima. Dabei reicht es zunächst, wenn Sie sich die Eigenschaften lokaler Extrema ansehen, denn jedes globale Extremum ist auch ein lokales Extremum.

       Ist die Funktion f colon double-struck upper R right-arrow double-struck upper R auf dem offenen Intervall upper D left-parenthesis f right-parenthesis equals left-parenthesis a comma b right-parenthesis definiert und an der Stelle x 0 element-of left-parenthesis a comma b right-parenthesis differenzierbar, dann gilt:

      Ist x 0 eine lokale Extremalstelle, dann ist f prime left-parenthesis x 0 right-parenthesis equals 0.

      Tatsächlich muss die Ableitung nicht einmal stetig sein, es reicht schon, dass die Ableitung f prime left-parenthesis x 0 right-parenthesis an einer Extremalstelle x 0 von f existiert. Dann muss f prime left-parenthesis x 0 right-parenthesis equals 0 gelten.

      

Ein Punkt x 0 des Definitionsbereichs von f mit verschwindender Ableitung f prime left-parenthesis x 0 right-parenthesis equals 0 heißt ein stationärer oder kritischer Punkt.

       Ein stationärer Punkt von f ist nicht notwendig eine Extremalstelle.

      Es gilt nur: Ist x 0 eine lokale Extremalstelle, Скачать книгу