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so existiert der Funktionsgrenzwert nicht. Dieselben Rechenregeln wie für die Berechnung von Folgengrenzwerten helfen Ihnen auch bei der Berechnung von Grenzwerten von Funktionen.
Konvergieren die beiden reellwertigen Funktionen und mit gemeinsamem Definitionsbereich an der Stelle gegen die Grenzwerte beziehungsweise , dann gelten die folgenden Rechenregeln:
Jede Linearkombination mit konvergiert gegen die Linearkombination der Grenzwerte:
Die Produktfunktion konvergiert gegen das Produkt der Grenzwerte:
Falls ist und auf , konvergiert die Quotientenfunktion gegen den Quotienten der Grenzwerte:
Mit Hilfe von Grenzwerten für Funktionen wird der wichtige Begriff Stetigkeit definiert.
Eine Funktion
mit Definitionsbereich
heißt
stetig an der Stelle , falls
ist.
Eine Funktion mit Definitionsbereich heißt stetig auf der Menge , falls an jeder Stelle stetig ist.
Differenzierbarkeit und Kurvendiskussion
Die Frage nach dem Änderungsverhalten einer Funktion führt über eine weitere Grenzwertbetrachtung zum Begriff der Differenzierbarkeit. Ist eine auf einem Intervall definierte Funktion, dann nennt man den Quotienten
den Differenzenquotienten von an der Stelle . Er beschreibt die Änderung der Funktionswerte in Abhängigkeit von der Änderung der Argumente und entspricht anschaulich der Steigung einer Geraden durch die beiden Punkte und . Der Grenzwert des Differenzenquotienten für entspricht dann der Tangentensteigung an die Funktion im Punkt , das heißt: der Ableitung.
Die Funktion
heißt
an der Stelle differenzierbar, falls für
gegen
der Grenzwert des Differenzenquotienten
eigentlich existiert, das heißt nicht ist.
In diesem Fall wird der Grenzwert mit bezeichnet und heißt die Ableitung der Funktion an der Stelle .
Eine häufig verwendete Schreibweise für ist der Differentialquotient:
Nicht alle Funktionen besitzen an jeder beliebigen Stelle eine Ableitung, manche Funktionen sind sogar nirgends differenzierbar. Andere Funktionen sind dagegen auf ihrem ganzen Definitionsbereich differenzierbar und definieren damit eine weitere Funktion.
Eine Funktion
heißt auf
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