Mathematik für Ingenieure II für Dummies - J. Michael Fried

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rel="nofollow" href="#fb3_img_img_0abb4dfc-7c0e-5f89-bcaa-8c3c6eff5af2.png" alt="upper I"/> differenzierbar, falls f an jeder Stelle x element-of upper I differenzierbar ist. Die Funktion f prime colon upper I right-arrow double-struck upper R mit

f prime left-parenthesis x right-parenthesis colon equals limit Underscript h right-arrow 0 Endscripts StartFraction f left-parenthesis x plus h right-parenthesis minus f left-parenthesis x right-parenthesis Over h EndFraction

      heißt Ableitung der Funktion f.

durch die beiden Punkte
und

      Der Differenzenquotient StartFraction f left-parenthesis x 0 plus h right-parenthesis minus f left-parenthesis x 0 right-parenthesis Over h EndFraction entspricht gerade der Steigung der Geraden g Subscript h Baseline left-parenthesis x right-parenthesis. Wenn Sie den Grenzübergang h right-arrow 0 durchführen, erhalten Sie die Gerade g 0 left-parenthesis x right-parenthesis mit:

g 0 left-parenthesis x right-parenthesis colon equals limit Underscript h right-arrow 0 Endscripts g Subscript h Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals f prime left-parenthesis x 0 right-parenthesis left-parenthesis x minus x 0 right-parenthesis plus f left-parenthesis x 0 right-parenthesis period

      Das ist die Tangente zum Graphen der Funktion f an der Stelle x 0.

       Die Ableitung f prime left-parenthesis x 0 right-parenthesis entspricht also der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt left-parenthesis x 0 comma f left-parenthesis x 0 right-parenthesis right-parenthesis und wird daher auch Steigung der Funktion f an der Stelle x 0 genannt.

      Natürlich können Sie auch bei einer Ableitung f prime left-parenthesis x right-parenthesis fragen, ob diese wieder differenzierbar ist. Und falls dies so ist, auch für die Ableitung der Ableitung und so weiter. Das rechtfertigt die folgende Definition der n-ten Ableitung.

Unter der Voraussetzung, dass die Funktion f und die entsprechenden Ableitungsfunktionen von f jeweils differenzierbar sind, bezeichnet man:

       

       

       

       Allgemein:

      Dabei heißt f Superscript left-parenthesis n right-parenthesis Baseline left-parenthesis x right-parenthesis die n -te Ableitung von f.

      Eine Funktion f heißt n -mal differenzierbar, falls ihre n-te Ableitung f Superscript left-parenthesis n right-parenthesis existiert.

      Eine Funktion f heißt n -mal stetig differenzierbar, wenn f Superscript left-parenthesis n right-parenthesis existiert und stetig ist.

       Genau wie für die erste Ableitung f prime left-parenthesis x right-parenthesis gilt auch für die zweite und jede weitere Ableitung einer entsprechend oft differenzierbaren Funktion f, dass diese nicht unbedingt stetig sein müssen.

      Globale und lokale Extremstellen

      Bei der Untersuchung auf Extremstellen wird zwischen globalen oder lokalen Extremstellen unterschieden. Als globale Extremstellen der Funktion f werden die Stellen im Definitionsbereich von f bezeichnet, an denen die größten beziehungsweise kleinsten Funktionswerte angenommen werden.

      

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