Mathematik für Ingenieure II für Dummies - J. Michael Fried

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a Subscript n Baseline right-parenthesis Subscript n element-of upper I"/>.

      Eine nicht konvergente Folge heißt divergent.

      Eine Folge left-parenthesis x Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline right-parenthesis Subscript k equals 1 comma 2 comma 3 comma ellipsis von Punkten x Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline equals left-parenthesis x 1 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline comma x 2 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline comma ellipsis comma x Subscript n Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline right-parenthesis element-of double-struck upper R Superscript n konvergiert also gegen den Grenzwert x overbar equals left-parenthesis x overbar Subscript 1 Baseline comma x overbar Subscript 2 Baseline comma ellipsis comma x overbar Subscript n Baseline right-parenthesis, in Formeln

limit Underscript k right-arrow infinity Endscripts x Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline equals x overbar

      falls eine der folgenden beiden Bedingungen erfüllt ist:

       ,

        für alle .

      Diese Bedingungen sind äquivalent: Falls eine davon erfüllt ist, ist es automatisch auch die andere.

       Die folgenden Regeln gelten dann, wenn die beteiligten Folgen left-parenthesis a Subscript n Baseline right-parenthesis und left-parenthesis b Subscript n Baseline right-parenthesis konvergent sind:

       Konstante Faktoren können Sie herausziehen:

       Die Grenzwerte von Summen- beziehungsweise Differenzfolgen dürfen addiert (beziehungsweise subtrahiert) werden:

       Der Grenzwert der Produktfolge ist Produkt der Grenzwerte:

       Falls die Folgenglieder und der Grenzwert sind, dann ist der Grenzwert der Quotientenfolge der Quotient der Grenzwerte:

       Beträge können Sie herausziehen:

      Wenn Sie die Elemente einer Folge oder einer nicht leeren (unendlich großen) Teilmenge upper M subset-of-or-equal-to upper V eines normierten Raums left-parenthesis upper V comma parallel-to dot parallel-to right-parenthesis betrachten, ist es manchmal wichtig zu wissen, wie diese Elemente verteilt sind. Beispielsweise können alle Elemente gleich weit voneinander entfernt sein, wie die natürlichen Zahlen double-struck upper N subset-of double-struck upper R oder sich um einen bestimmten Punkt ansammeln. Denken Sie an die Menge upper M colon equals StartSet StartFraction 1 Over n EndFraction vertical-bar n element-of double-struck upper N EndSet subset-of double-struck upper R, deren Elemente sich um den Punkt 0 häufen. Solche Punkte werden Häufungspunkte oder Häufungswerte genannt.

      

Ein Punkt x element-of upper V heißt Häufungspunkt der Teilmenge upper M subset-of upper V, falls in jeder beliebigen noch so kleinen Umgebung upper U left-parenthesis x right-parenthesis mindestens noch ein weiterer, von x verschiedener Punkt y element-of upper M liegt.

       Ein Häufungspunkt x einer Menge upper M kann, aber muss nicht Element von upper M sein. Außerdem kann eine Menge upper M mehrere verschiedene Häufungspunkte haben.

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