Mathematik für Ingenieure II für Dummies - J. Michael Fried

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dann heißt die left-parenthesis m comma p right-parenthesis-Matrix upper C equals left-parenthesis c Subscript i k Baseline right-parenthesis element-of double-struck upper R Superscript m times p mit den Komponenten

c Subscript i k Baseline colon equals sigma-summation Underscript l equals 1 Overscript n Endscripts a Subscript i l Baseline b Subscript l k Baseline i equals 1 comma ellipsis comma m comma k equals 1 comma ellipsis comma p

      das Produkt von upper A und upper B.

      Das Standardskalarprodukt der Spaltenvektoren x comma y element-of double-struck upper R Superscript n können Sie als ein besonderes Matrizenprodukt interpretieren: Betrachten Sie die beiden Spaltenvektoren

x colon equals Start 4 By 1 Matrix 1st Row x 1 2nd Row x 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row x Subscript n Baseline EndMatrix comma y colon equals Start 4 By 1 Matrix 1st Row y 1 2nd Row y 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row y Subscript n Baseline EndMatrix

      als n times 1-Matrizen und definieren Sie zum Spaltenvektor x den Zeilenvektor x Superscript down-tack Baseline equals left-parenthesis x 1 comma x 2 comma ellipsis comma x Subscript n Baseline right-parenthesis, eine einzeilige und n-spaltigen Matrix. Das Skalarprodukt left pointing angle x comma y right pointing angle equals x Superscript down-tack Baseline y ist dann das Matrizenprodukt aus der 1 times n-Matrix x Superscript down-tack und der n times 1-Matrix y.

      Lineare Gleichungssysteme und das Gauß-Verfahren

      Lineare Gleichungssysteme, kurz LGS, treten bei vielen mathematischen Fragestellungen auf. Beispielsweise müssen Sie beim in Kapitel 4 behandelten Newton-Verfahren zur Approximation von Nullstellen einer mehrdimensionalen Funktion in jedem Schritt ein LGS lösen. Ein LGS können Sie formal als

upper A x equals b

      Determinanten

      Manchmal empfiehlt es sich, ein LGS zuerst auf Lösbarkeit zu untersuchen, bevor Sie versuchen, die Lösung zu berechnen. Dies können Sie für quadratische LGS beispielsweise mit Hilfe der sogenannten Determinante det left-parenthesis upper A right-parenthesis der Systemmatrix upper A machen. Die eigentliche mathematische Definition der Determinanten ist etwas kompliziert, allerdings reicht es aus, eine Berechnungsvorschrift für Determinanten anzugeben.

      

Für eine quadratische Matrix upper A element-of double-struck upper R Superscript 2 times 2 mit

upper A equals Start 2 By 2 Matrix 1st Row 1st Column a 11 2nd Column a 12 2nd Row 1st Column a 21 2nd Column a 22 EndMatrix

      heißt die Zahl

det left-parenthesis upper A right-parenthesis colon equals Start 2 By 2 Matrix 1st Row 1st Column a 11 2nd Column a 12 2nd Row 1st Column a 21 2nd Column a 22 EndMatrix colon equals a 11 a 22 minus a 12 a 21

      die Determinante von upper A. Für eine Matrix upper A element-of double-struck upper R Superscript 3 times 3 ist

StartLayout 1st Row 1st Column det left-parenthesis upper A right-parenthesis 2nd Column colon equals 3rd Column a 11 a 22 a 33 plus a 12 a 23 a 31 plus a 13 a 21 a 32 2nd Row 1st Column Blank 2nd Column Blank 3rd Column minus a 13 a 22 a 31 minus a 11 a 23 a 32 minus a 12 a 21 a 33 period EndLayout

      Determinanten für Matrizen mit mehr als drei Zeilen und Spalten berechnen Sie mit Hilfe des sogenannten Laplaceschen Entwicklungssatzes über die Kofaktoren bestimmter Matrixkomponenten.

      

Ist upper A element-of double-struck upper R Superscript n times n eine quadratische Matrix mit n Zeilen und Spalten, dann heißt die quadratische Matrix mit left-parenthesis n minus 1 right-parenthesis Zeilen und Spalten, die aus upper A durch Streichen der i-ten Zeile und der k-ten Spalte entsteht, die Untermatrix upper A Subscript i k.

alpha Subscript i k Baseline colon equals left-parenthesis <p style= Скачать книгу