Mathematik für Ingenieure II für Dummies - J. Michael Fried

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det left-parenthesis upper A Subscript i k Baseline right-parenthesis"/>

      heißt der Kofaktor zum Element a Subscript i k der Matrix upper A.

      Mit Hilfe von Untermatrizen lassen sich ganz allgemein Determinanten auf zwei Weisen rekursiv berechnen.

       Die eine Möglichkeit ist die Entwicklung nach der -ten Spalte: für ist:

       Die andere Variante ist die Entwicklung nach der -ten Zeile: für ist:

      Mit diesen beiden Methoden können Sie die Berechnung der Determinante jeder quadratischen Matrix upper A element-of double-struck upper R Superscript n times n auf die Berechnung von Determinanten quadratischer Matrizen mit nur zwei Zeilen und Spalten zurückführen.

      Determinanten werden zum Beispiel bei der weiter unten in diesem Kapitel beschriebenen Eigenwertberechnung und bei der Transformation verschiedener Koordinatensysteme zur mehrdimensionalen Integration benötigt, die in Kapitel 6 behandelt wird.

      Außerdem können Sie mit Hilfe der Determinante der Systemmatrix die eindeutige Lösbarkeit eines quadratischen LGS feststellen.

       Ist für die Systemmatrix upper A element-of double-struck upper R Superscript n times n eines quadratischen LGS

upper A x equals b

      die Determinante det left-parenthesis upper A right-parenthesis not-equals 0 von null verschieden, dann existiert ein einziger Lösungsvektor x element-of double-struck upper R Superscript n für dieses LGS. Ist dagegen det left-parenthesis upper A equals 0, dann gibt es entweder keine oder unendlich viele Lösungen des LGS.

      Das Gauß-Verfahren

      Es gibt sehr viele verschiedene Verfahren zur exakten oder näherungsweisen Lösung eines LGS. Die meisten dieser Verfahren eignen sich hauptsächlich für die computergestützte Lösung sehr großer LGS, das heißt für eine sehr große Zahl von Unbekannten und Gleichungen.

      Einige Verfahren können Sie aber durchaus auch zur Berechnung der Lösung kleinerer LGS von Hand einsetzen. Das bekannteste und wichtigste dieser Verfahren ist der Gauß-Algorithmus. Die zugrunde liegende Idee ist es, das zu lösende Gleichungssystem auf obere Dreiecksgestalt zu bringen und dann die Lösung durch Rückwärtslösen zu bestimmen.

      Ist beispielsweise upper R element-of double-struck upper R Superscript n times n eine obere Dreiecksmatrix:

upper R equals Start 4 By 4 Matrix 1st Row 1st Column r 11 2nd Column r 12 3rd Column ellipsis 4th Column r Subscript 1 n Baseline 2nd Row 1st Column 0 2nd Column r 22 3rd Column ellipsis 4th Column r Subscript 2 n Baseline 3rd Row 1st Column vertical-ellipsis 2nd Column down-right-diagonal-ellipsis 3rd Column down-right-diagonal-ellipsis 4th Column vertical-ellipsis 4th Row 1st Column 0 2nd Column ellipsis 3rd Column 0 4th Column r Subscript n n EndMatrix

      mit

det left-parenthesis upper R right-parenthesis equals r 11 r 22 dot midline-horizontal-ellipsis dot r Subscript n n Baseline not-equals 0 comma

      dann ist die Lösung des LGS upper R x equals c eindeutig bestimmt, und das Rückwärtslösen können Sie nach dem folgenden Algorithmus vornehmen:

      1 Starten Sie in der -ten Zeile:

      2 Weiter geht es mit der -ten Zeile:Diese können Sie nach auflösen, da Sie schon aus dem letzten Schritt kennen.

      3 Auf diese Weise arbeiten Sie sich rückwärts von unten nach oben durch die einzelnen Zeilen des gestaffelten Systems.In der -ten Zeile sieht das so aus:

      Zur Lösung eines beliebigen LGS upper A x equals b mit left-parenthesis m comma n right-parenthesis-Matrix upper A element-of double-struck upper R Superscript m times n und rechter Seite b element-of double-struck upper R Superscript m wird, wenn möglich, beim Gauß-Algorithmus das LGS durch geeignete elementare Zeilenumformungen zu einem LGS upper R x equals c mit Dreiecksmatrix upper R und mit neuer rechter Seite c umgeformt, welches dieselbe Lösung wie das ursprüngliche System besitzt.

      Die erlaubten elementaren Zeilenumformungen sind dabei:

       Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar :

       Vertauschung zweier Zeilen

       Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile:

      Mit Hilfe der obigen Zeilenumformungen führen Sie die Gauß-Elimination so durch:

      1 Bilden Sie die erweiterte Systemmatrix , indem Sie die Matrix rechts um eine Spalte mit dem Rechte-Seite-Vektor erweitern. Setzen Sie .Nach jedem der folgenden Schritte erhalten Sie eine neue erweiterte Systemmatrix, die Sie aber der Übersichtlichkeit halber wieder mit bezeichnen. Genauso bezeichnen Sie auch die neuen Komponenten wieder mit .

      2 Ist die Komponente , dann tauschen Sie eine Zeile mit der erweiterten Systemmatrix mit der Zeile . Falls es unterhalb der -ten Zeile keine Zeile mit gibt, sind Sie fertig und gehen zu Schritt 7.Prinzipiell ist es gleichgültig, durch welche Zeile Sie dabei die -te Zeile ersetzen, solange nach dem Tausch die Komponente ist. Bei der praktischen Rechnung wählen Sie hier möglichst eine Zeile mit Komponente .

      3 Putzen Sie unterhalb der -ten Zeile die -e Spalte, indem Sie zu jeder Zeile mit das -Fache der -ten Zeile addieren.Sie bearbeiten also nur die Zeilen unterhalb der -ten Zeile und erhalten eine neue erweiterte Systemmatrix, bei der in der -ten Spalte unterhalb der Diagonalkomponente nur noch Nullen stehen.

      4 Setzen Sie .

      5 Ist , dann sind Sie fertig und gehen zu Schritt 7.

      6 Gehen Sie zu Schritt 2, und fahren Sie dort fort.Falls Sie nicht vorher zu Schritt 7 springen, dann wiederholen Sie diesen Algorithmus Zeile für Zeile, bis Sie in der letzten Zeile angekommen sind.

      7 Beenden Sie die Elimination.

      Mit diesem Eliminationsalgorithmus bringen Sie die erweiterte Matrix left-parenthesis upper A semicolon b right-parenthesis auf die folgende Gestalt:

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