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Row 1st Column 1 2nd Column alpha 12 3rd Column alpha 13 4th Column midline-horizontal-ellipsis 5th Column alpha Subscript 1 r Baseline 6th Column alpha Subscript 1 comma left-parenthesis r plus 1 right-parenthesis Baseline 7th Column midline-horizontal-ellipsis 8th Column alpha Subscript 1 n Baseline 9th Column beta 1 2nd Row 1st Column 0 2nd Column 1 3rd Column alpha 23 4th Column midline-horizontal-ellipsis 5th Column alpha Subscript 2 r Baseline 6th Column alpha Subscript 2 comma left-parenthesis r plus 1 right-parenthesis Baseline 7th Column midline-horizontal-ellipsis 8th Column alpha Subscript 2 n Baseline 9th Column beta 2 3rd Row 1st Column vertical-ellipsis 2nd Column 0 3rd Column 1 4th Column down-right-diagonal-ellipsis 5th Column alpha Subscript 3 r Baseline 6th Column alpha Subscript 3 comma left-parenthesis r plus 1 right-parenthesis Baseline 7th Column midline-horizontal-ellipsis 8th Column alpha Subscript 3 n Baseline 9th Column beta 3 4th Row 1st Column vertical-ellipsis 2nd Column Blank 3rd Column down-right-diagonal-ellipsis 4th Column down-right-diagonal-ellipsis 5th Column vertical-ellipsis 6th Column vertical-ellipsis 7th Column Blank 8th Column vertical-ellipsis 9th Column vertical-ellipsis 5th Row 1st Column 0 2nd Column ellipsis 3rd Column ellipsis 4th Column 0 5th Column 1 6th Column alpha Subscript r comma left-parenthesis r plus 1 right-parenthesis Baseline 7th Column midline-horizontal-ellipsis 8th Column alpha Subscript r n Baseline 9th Column beta Subscript r Baseline 6th Row 1st Column 0 2nd Column ellipsis 3rd Column ellipsis 4th Column Blank 5th Column Blank 6th Column Blank 7th Column Blank 8th Column Blank 9th Column beta Subscript r plus 1 Baseline 7th Row 1st Column vertical-ellipsis 2nd Column Blank 3rd Column Blank 4th Column Blank 5th Column Blank 6th Column Blank 7th Column Blank 8th Column Blank 9th Column vertical-ellipsis 8th Row 1st Column 0 2nd Column Blank 3rd Column Blank 4th Column Blank 5th Column Blank 6th Column Blank 7th Column Blank 8th Column Blank 9th Column beta Subscript m Baseline EndMatrix equals colon left-parenthesis upper A overTilde comma b overTilde right-parenthesis"/>
Die Zahl
wird
Rang der Matrix genannt.
In den ersten Zeilen ist dies ein gestaffeltes Gleichungssystem. Hier stehen »Leerzeichen« für die Null und und für irgendwelche Zahlen. Ist , dann treten in der neu erhaltenen Matrix reine Nullzeilen auf, während auf der neuen rechten Seite in diesen Zeilen eventuell auch andere Zahlen auftauchen können.
Für die Lösbarkeit des LGS gilt:
Nicht lösbar, falls die Zahlen nicht alle gleich null sind.
Nicht eindeutig lösbar, falls ist, das heißt, falls alle sind. Die Unbekannten können frei gewählt werden. Die restlichen Unbekannten ergeben sich dann eindeutig aus den frei gewählten Unbekannten.
Eindeutig lösbar, falls ist. Die Lösung erhalten Sie durch Rückwärtslösen.
Eigenwerte, Eigenvektoren und die Definitheit von Matrizen
Wie im Abschnitt »Ganz sicher: Hinreichende Optimalitätsbedingung« aus Kapitel 5 dargestellt wird, spielt bei der Untersuchung auf Extremstellen mehrdimensionaler Funktionen die Definitheit von symmetrischen Matrizen eine ähnlich wesentliche Rolle wie das Vorzeichen der zweiten Ableitung für eindimensionale Funktionen.
Eine symmetrische
-Matrix
heißt:
positiv semidefinit, falls für alle ,
positiv definit, falls für alle ,
negativ semidefinit, falls für alle ,
negativ definit, falls für alle ,
indefinit in allen anderen Fällen.
Anhand der Definition ist die Definitheit einer gegebenen Matrix meistens nicht so einfach zu erkennen. Es gibt aber einige Berechnungsmethoden dazu, mit deren Hilfe Sie eine gegebene Matrix auf Definitheit prüfen können. Die zuverlässigste Methode verwendet dazu die Eigenwerte der Matrix.
Für eine gegebene
-Matrix
werden beim
Eigenwertproblem ein Vektor
und ein
gesucht, sodass
ist. Ein solches heißt Eigenwert von . Jeder Vektor , der die obige Gleichung mit erfüllt, heißt Eigenvektor von zum Eigenwert .
Die Gleichung
heißt die
charakteristische Gleichung von
.
Das Polynom heißt das charakteristische Polynom der Matrix .
Die Lösungen der charakteristischen Gleichung einer -Matrix und damit die Eigenwerte von sind nichts anderes als die Nullstellen des charakteristischen
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