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Abbildung 1.2: In jeder Umgebung des Häufungspunkts
liegen unendlich viele Punkte
Grenzwerte reellwertiger Funktionen und Stetigkeit
Für die eindimensionale Analysis sind oft Grenzwerte von Funktionen interessant. Vergleichen Sie beispielsweise die beiden Graphen in Abbildung 1.3, dann stellen Sie sofort einen prinzipiellen Unterschied fest: An der Stelle springt die linke Funktion, während der Graph der rechten Funktion dort durchgehend weiterverläuft.
Abbildung 1.3: Eine unstetige (links) und eine stetige Funktion (rechts)
Etwas mathematischer formuliert geht es hier um die Frage, wie sich die Folge der Funktionswerte verhält, wenn eine Folge reeller Zahlen mit Grenzwert ist. Dies führt zum Begriff der Stetigkeit eindimensionaler Funktionen.
Eine Funktion
mit Definitionsbereich
konvergiert an einer Stelle gegen den Wert
, falls für jede Folge
reeller Zahlen
aus dem Definitionsbereich von
mit
die Folge der Funktionswerte
gegen
konvergiert:
Für den Grenzwert der Funktion schreibt man:
In dieser Definition sind auch die Spezialfälle beziehungsweise eingeschlossen.
Die Stelle muss nicht im Definitionsbereich von liegen. Allerdings muss ein Häufungspunkt von sein, damit überhaupt Folgen von Elementen aus dem Definitionsbereich von existieren, die gegen die Zahl konvergieren. Das bedeutet, dass entweder ein innerer oder ein Randpunkt von sein muss.
Ein Punkt
aus dem Rand einer Menge
heißt ein
Randpunkt von . Es gilt daher, dass in jeder Umgebung
mindestens ein Punkt
und ein Punkt
liegen. Dabei muss der Punkt
nicht unbedingt selbst aus der Menge
sein.
Bei der Grenzwertdefinition für Funktionen ist es wichtig, dass alle möglichen Folgen mit Grenzwert untersucht werden. Bekommen Sie für verschiedene solcher Folgen verschiedene Grenzwerte der Funktionswertfolgen
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