Mathematik für Ingenieure II für Dummies - J. Michael Fried

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alt="right double arrow f prime left-parenthesis x 0 right-parenthesis equals 0"/>, nicht die Umkehrung.

      Außerdem kann eine Funktion eine lokale Extremstelle in einem Punkt x 0 ihres Definitionsbereichs haben, ohne dort differenzierbar zu sein.

      Bei der Suche nach den lokalen oder globalen Maxima und Minima einer Funktion auf einem Intervall sind die stationären Punkte mögliche Kandidaten. Da aber nicht jeder stationäre Punkt auch eine Extremstelle ist, müssen diese Punkte weiter untersucht werden.

      Die zweite Ableitung ist ein Hilfsmittel, mit dem Sie an kritischen Punkten entscheiden können, ob ein Minimum oder ein Maximum vorliegt.

       Ist die Funktion f colon double-struck upper R right-arrow double-struck upper R auf dem offenen Intervall left-parenthesis a comma b right-parenthesis zweimal stetig differenzierbar, dann gilt für Punkte x 0 element-of left-parenthesis a comma b right-parenthesis:

       Ist und , so ist eine lokale Maximalstelle.

       Ist und , so ist eine lokale Minimalstelle.

      

Ein kritischer Punkt x 0 element-of upper D left-parenthesis f right-parenthesis der Definitionsmenge einer differenzierbaren Funktion f, der weder eine Minimalstelle noch eine Maximalstelle von f ist, heißt Sattelpunkt von f.

      Sattelpunkte sind Spezialfälle von Wendepunkten, die gleichzeitig kritische Punkte sind. An Wendepunkten ändert sich das Krümmungsverhalten des Graphen von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt.

      

Ist x 0 element-of upper D left-parenthesis f right-parenthesis ein Punkt der Definitionsmenge einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion f mit f double-prime left-parenthesis x 0 right-parenthesis equals 0 und hat die zweite Ableitung links von x 0 ein anderes Vorzeichen als rechts von x 0, das heißt, gilt entweder

f double-prime left-parenthesis x right-parenthesis less-than 0 f modifying above u with double dot r x less-than x 0 und f double-prime left-parenthesis x right-parenthesis greater-than 0 f modifying above u with double dot r x greater-than x 0

      oder

f double-prime left-parenthesis x right-parenthesis greater-than 0 f modifying above u with double dot r x less-than x 0 und f double-prime left-parenthesis x right-parenthesis less-than 0 f modifying above u with double dot r x greater-than x 0 comma

      dann heißt x 0 Wendepunkt von f. Dabei werden nur x in einer kleinen Umgebung von x 0 betrachtet.

      Ärgerlicherweise reicht für einen Sattelpunkt die Bedingung f double-prime left-parenthesis x 0 right-parenthesis equals 0 nicht aus – es könnte sich immer noch um eine Extremstelle handeln. Um das zu klären, müssen Sie die Funktion f weiter untersuchen.

       Ist f genügend oft stetig differenzierbar und verschwinden die ersten n Ableitungen f prime left-parenthesis x 0 right-parenthesis equals f double-prime left-parenthesis x 0 right-parenthesis equals midline-horizontal-ellipsis equals f Superscript left-parenthesis n right-parenthesis Baseline left-parenthesis x 0 right-parenthesis equals 0 comma aber die n plus 1-te Ableitung f Superscript left-parenthesis n plus 1 right-parenthesis Baseline left-parenthesis x 0 right-parenthesis not-equals 0 nicht, dann besitzt f an der Stelle x 0 einen Sattelpunkt, falls n eine gerade Zahl ist. Ist n eine ungerade Zahl, also n plus 1 gerade, dann hat f an der Stelle x 0 ein Extremum und das Vorzeichen von f Superscript left-parenthesis n plus 1 right-parenthesis Baseline left-parenthesis x 0 right-parenthesis gibt an, ob es sich um ein Maximum (f Superscript left-parenthesis n plus 1 right-parenthesis Baseline left-parenthesis x 0 right-parenthesis less-than 0) oder ein Minimum (f Superscript left-parenthesis n plus 1 right-parenthesis Baseline left-parenthesis x 0 right-parenthesis greater-than 0) handelt.

      Dabei ist in diesem Zusammenhang die Funktion f genügend oft stetig differenzierbar, wenn sie mindestens n plus 1-mal stetig differenzierbar ist.

      Integration

      Neben der Differentialrechnung ist die Integralrechnung der zweite große und sehr wichtige Themenbereich in der Analysis. In einer Hinsicht ist die Integralrechnung die Umkehrung der Differentialrechnung: Für eine gegebene Funktion

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