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Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung erlaubt Ihnen, Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen und umgekehrt Stammfunktionen durch Integrale zu berechnen:
Für jede auf einem Intervall ![upper I]()
stetige Funktion ![f]()
und jedes ![a element-of upper I]()
gilt:
Existenz von Stammfunktionen: Die Funktionmit ist eine Stammfunktion zu auf .
Eindeutigkeit: Jede andere Stammfunktion zu hat die Form mit einer Konstanten .
Integralberechnung: Ist eine beliebige Stammfunktion zu , so gilt für :
Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung haben Sie also eine Methode, um entweder Flächen unterhalb des Graphen einer gegebenen Funktion ![f]()
oder Stammfunktionen von ![f]()
zu bestimmen, vorausgesetzt, Sie können das Integral über die Funktion ![f]()
berechnen.
Anstatt die Grenzwertdefinition des Integrals direkt zu verwenden, werden Sie üblicherweise zur Integration einer gegebenen Funktion ![f]()
eine andere Integrationsmethode verwenden. Die beiden wichtigsten Methoden zur Integration sind die partielle Integration und die Substitutionsformel.
Die partielle Integration wird aus der Produktregel der Differentiation abgeleitet.
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Gilt für die differenzierbaren Funktionen ![f left-parenthesis x right-parenthesis]()
und ![g left-parenthesis x right-parenthesis]()
, dass das Produkt ![f left-parenthesis x right-parenthesis g prime left-parenthesis x right-parenthesis]()
integrierbar ist, dann ist auch das Produkt ![f prime left-parenthesis x right-parenthesis g left-parenthesis x right-parenthesis]()
integrierbar, und es gilt die Formel:
![integral f prime left-parenthesis x right-parenthesis g left-parenthesis x right-parenthesis normal d x equals f left-parenthesis x right-parenthesis g left-parenthesis x right-parenthesis minus integral f left-parenthesis x right-parenthesis g prime left-parenthesis x right-parenthesis normal d x]()
Bei der Substitution hilft die Kettenregel der Differentiation. Für die bestimmte Integration, die Flächenberechnung, müssen Sie dabei auch die Grenzen der Integrale beachten.
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Die Substitutionsformel der bestimmten Integration lautet:
![integral Subscript a Superscript b Baseline f left-parenthesis g left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis g prime left-parenthesis x right-parenthesis normal d x equals upper F left-parenthesis g left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis vertical-bar Subscript a Superscript b]()
Eine zweite Form der Substitutionsregel ist ebenfalls oft nützlich.
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Eine wichtige Variante der Substitutionsformel:
Es sei ![f colon left-bracket alpha comma beta right-bracket right-arrow double-struck upper R]()
und die umkehrbare Funktion ![g colon left-bracket a comma b right-bracket right-arrow left-bracket alpha comma beta right-bracket]()
mit nicht verschwindender Ableitung ![g prime]()
und Umkehrfunktion ![g Superscript minus]()
und ![g left-parenthesis a right-parenthesis equals alpha]()
und ![g left-parenthesis b right-parenthesis equals beta]()
gegeben.
Hat ![f left-parenthesis g left-parenthesis t right-parenthesis right-parenthesis g prime left-parenthesis t right-parenthesis]()
auf ![left-bracket a comma b right-bracket]()
eine Stammfunktion ![upper H left-parenthesis t right-parenthesis]()
, dann ist ![upper H left-parenthesis g Superscript minus Baseline left-parenthesis x right-parenthesis right-parenthesis]()
auf ![left-bracket alpha comma beta right-bracket]()
eine Stammfunktion von ![f]()
, und es gilt:
![integral Subscript g left-parenthesis a right-parenthesis Superscript g left-parenthesis b right-parenthesis Baseline f left-parenthesis x right-parenthesis normal d x equals integral Subscript a Superscript b Baseline f left-parenthesis g left-parenthesis t right-parenthesis right-parenthesis g prime left-parenthesis t right-parenthesis normal d t]()
Kapitel 2
Grundlagen der Differentialrechnung im ![double-struck upper R Superscript bold-italic n]()
IN DIESEM KAPITEL
Funktionen mehrerer Variabler betrachten
Was Stetigkeit im Mehrdimensionalen bedeutet
Mehrdimensionale Funktionen ableiten
Höhere Ableitungen für Funktionen mehrerer Variablen bestimmen
Die mathematische Beschreibung der realen Welt ist eine wichtige Aufgabe der Naturwissenschaften und Grundlage für technische Anwendungen. Die Welt um uns herum ist offensichtlich mehrdimensional: Schon für eine einfache Ortsangabe brauchen Sie nicht nur eine einzige Variable, sondern drei Ortskoordinaten. Um naturwissenschaftliche oder technische Phänomene, wie zum Beispiel den Druck in einer dahinströmenden Flüssigkeit oder die Temperaturverteilung in einem Raum, mathematisch zu beschreiben, reichen Funktionen einer einzigen Variablen nicht aus: Nicht nur räumliche Verteilungen, sondern auch die meisten naturwissenschaftlichen Größen hängen von mehr als einem Parameter ab. Dieses Kapitel liefert eine Einführung in die Analysis zu Funktionen mehrerer Variabler.
Unsere Welt ist mehrdimensional
Genau wie bei Funktionen von einer Variablen ist für Funktionen mehrerer Variablen das Änderungsverhalten sehr interessant. Wie im eindimensionalen
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