Mathematik für Ingenieure II für Dummies - J. Michael Fried

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rel="nofollow" href="#u37464bc0-4013-5d02-b60e-093ab16c2975">Kapitel 1 ist

limit Underscript k right-arrow infinity Endscripts left-parenthesis x 1 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline dot x 2 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline right-parenthesis equals limit Underscript k right-arrow infinity Endscripts x 1 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline dot limit Underscript k right-arrow infinity Endscripts x 2 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline equals x overbar Subscript 1 Baseline x overbar Subscript 2 Baseline comma

      daher gilt

limit Underscript k right-arrow infinity Endscripts f left-parenthesis x 1 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline comma x 2 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline right-parenthesis equals x overbar Subscript 1 Baseline x overbar Subscript 2 Baseline equals f left-parenthesis x overbar Subscript 1 Baseline comma x overbar Subscript 2 Baseline right-parenthesis period

      Die Funktion f ist also auf ganz double-struck upper R squared stetig. Anders sieht das beim folgenden Beispiel aus: Die Funktion g colon double-struck upper R squared right-arrow double-struck upper R mit

g left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis colon equals StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column StartFraction x 1 x 2 Over x 1 squared plus x 2 squared EndFraction 2nd Column falls 3rd Column left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis not-equals left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis 2nd Row 1st Column 0 2nd Column falls 3rd Column left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis equals left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis EndLayout

      ist im Punkt left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis nicht stetig. Um das einzusehen, reicht es, wenn Sie eine einzige Folge in double-struck upper R squared finden, für die die Funktionswertfolge nicht gegen den Funktionswert konvergiert. In diesem Beispiel konvergiert die Folge left-parenthesis x 1 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline comma x 2 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline right-parenthesis colon equals left-parenthesis StartFraction 1 Over k EndFraction comma StartFraction 1 Over k EndFraction right-parenthesis für k right-arrow infinity gegen den Punkt left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis, die zugehörige Funktionswertfolge g left-parenthesis x 1 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline comma x 2 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline right-parenthesis aber nicht gegen den Funktionswert g left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis equals 0:

g left-parenthesis x 1 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline comma x 2 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline right-parenthesis equals StartStartFraction StartFraction 1 Over k EndFraction dot StartFraction 1 Over k EndFraction OverOver StartFraction 1 Over k squared EndFraction plus StartFraction 1 Over k squared EndFraction EndEndFraction equals one half period

      Der Grenzwert der Funktionswertfolge ist daher

limit Underscript k right-arrow infinity Endscripts g left-parenthesis x 1 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline comma x 2 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline right-parenthesis equals one half not-equals 0 period

      Die Funktion g kann also im Punkt left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis nicht stetig sein.

       Für eine Folge left-parenthesis x overTilde Subscript 1 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline comma x overTilde Subscript 2 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline right-parenthesis element-of double-struck upper R squared, die aus einer anderen Richtung gegen den Punkt left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis konvergiert, kann die Funktionswertfolge g left-parenthesis x overTilde Subscript 1 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline comma x overTilde Subscript 2 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline right-parenthesis aber trotzdem gegen den Funktionswert g left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis equals 0 konvergieren. Zum Beispiel konvergiert die Folge left-parenthesis 0 comma x 2 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline right-parenthesis element-of double-struck upper R squared ebenfalls gegen den Punkt left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis und die zugehörige Funktionswertfolge ist die konstante Folge

g left-parenthesis 0 comma x 2 Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline right-parenthesis equals StartStartFraction 0 dot StartFraction 1 Over k EndFraction OverOver StartFraction 1 Over k squared EndFraction plus StartFraction 1 Over k squared EndFraction EndEndFraction equals 0 period

      Abbildungen zwischen mehrdimensionalen Räumen

      

Eine vektorwertige Funktion

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