Mathematik für Ingenieure II für Dummies - J. Michael Fried

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target="_blank" rel="nofollow" href="#fb3_img_img_e81dd6e3-62b8-593b-bd70-fd6a16dcd2e3.png" alt=""/> Diese neue Funktion können Sie mit den Methoden der eindimensionalen Analysis aus dem Abschnitt »Eindimensionale Analysis« in Kapitel 1 untersuchen, beispielsweise auf Differenzierbarkeit.

      Existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten

StartFraction g Subscript i Baseline left-parenthesis t overbar plus normal upper Delta t right-parenthesis minus g Subscript i Baseline left-parenthesis t overbar right-parenthesis Over normal upper Delta t EndFraction

      von g Subscript i an einer Stelle t overbar, dann ist g Subscript i an dieser Stelle differenzierbar, und Sie erhalten mit der Ableitung von g Subscript i an einer Stelle t overbar gleichzeitig die Änderungsrate der Funktion f am Punkt left-parenthesis x overbar Subscript 1 Baseline comma x overbar Subscript 2 Baseline comma ellipsis comma x overbar Subscript i minus 1 Baseline comma t overbar comma x overbar Subscript i plus 1 Baseline comma ellipsis comma x overbar Subscript n Baseline right-parenthesis entlang der i-ten Koordinatenrichtung. Diese Änderungsrate wird die i-te partielle Ableitung von f genannt.

      

Die Funktion f colon double-struck upper R Superscript n Baseline right-arrow double-struck upper R mit Definitionsbereich upper D left-parenthesis f right-parenthesis subset-of-or-equal-to double-struck upper R Superscript n heißt im Punkt x overbar element-of upper D left-parenthesis f right-parenthesis partiell nach x Subscript i differenzierbar, falls der Grenzwert

limit Underscript normal upper Delta x Subscript i Baseline right-arrow 0 Endscripts StartFraction f left-parenthesis x overbar Subscript 1 Baseline comma ellipsis comma x overbar Subscript i minus 1 Baseline comma x overbar Subscript i Baseline plus normal upper Delta x Subscript i Baseline comma x overbar Subscript i plus 1 Baseline comma ellipsis comma x overbar Subscript n Baseline right-parenthesis minus f left-parenthesis x overbar right-parenthesis Over normal upper Delta x Subscript i Baseline EndFraction

      existiert.

      Der Grenzwert heißt die partielle Ableitung von f nach x Subscript i in x overbar und wird mit

StartFraction partial-differential f Over partial-differential x Subscript i Baseline EndFraction left-parenthesis x overbar right-parenthesis oder f Subscript x Sub Subscript i Subscript Baseline left-parenthesis x overbar right-parenthesis

      bezeichnet.

      Trotzdem entspricht die partielle Ableitung von f nach x Subscript i in x overbar der ganz normalen »eindimensionalen« Ableitung der Funktion

g Subscript i Baseline left-parenthesis t right-parenthesis colon equals f left-parenthesis x overbar Subscript 1 Baseline comma ellipsis comma x overbar Subscript i minus 1 Baseline comma t comma x overbar Subscript i plus 1 Baseline comma ellipsis comma x overbar Subscript n Baseline right-parenthesis

      als Funktion der Variablen t an der Stelle t equals x overbar Subscript i, wobei die übrigen x overbar Subscript k fest und damit bei der Differentiation als Konstante anzusehen sind. Es gilt:

StartFraction partial-differential f Over partial-differential x Subscript i Baseline EndFraction left-parenthesis x overbar right-parenthesis equals StartFraction d Over d t EndFraction g Subscript i Baseline left-parenthesis x overbar Subscript i Baseline right-parenthesis period

      Ein Beispiel: Betrachten Sie die Funktion f left-parenthesis x 1 comma x 2 comma x 3 right-parenthesis colon equals x 1 squared x 2 plus 2 x 1 x 3 minus x 3 cubed mit Definitionsbereich upper D left-parenthesis f right-parenthesis equals double-struck upper R cubed. Zur Berechnung der partiellen Ableitung StartFraction partial-differential f Over partial-differential x 1 EndFraction gehen Sie Schritt für Schritt so vor:

      1 Setzen Sie .

      2 Leiten Sie die Funktion ab.Das heißt: Berechnen Sie die Ableitung . Es gilt:

      3 Sie erhalten die gesuchte partielle Ableitung, indem Sie berechnen:

      Analog erhalten Sie die beiden anderen partiellen Ableitungen der Funktion f left-parenthesis x 1 comma x 2 comma x 3 right-parenthesis:

      1 Setzen Sie .

      2 Leiten Sie die Funktion ab.

      3 Sie erhalten die gesuchte partielle Ableitung, indem Sie berechnen:

      4 Setzen Sie .

      5 Leiten Sie die Funktion ab.

      6 Sie erhalten die gesuchte partielle Ableitung, indem Sie berechnen:

      Mit ein wenig Übung werden Sie partielle Ableitungen direkt berechnen können und den Umweg über die Hilfsfunktionen g Subscript i nicht mehr benötigen.

       Der Weg über die Hilfsfunktionen Скачать книгу