Mathematik für Ingenieure II für Dummies - J. Michael Fried

Скачать книгу

Das ist nichts anderes als die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f im Punkt left-parenthesis x 0 comma f left-parenthesis x 0 right-parenthesis right-parenthesis.

      Wenn die Tangente in einer Umgebung von x 0 eine gute Approximation an die Funktion f sein soll, muss

f left-parenthesis x right-parenthesis equals f left-parenthesis x 0 right-parenthesis plus f prime left-parenthesis x 0 right-parenthesis left-parenthesis x minus x 0 right-parenthesis plus epsilon left-parenthesis x right-parenthesis left-parenthesis x minus x 0 right-parenthesis

      mit limit Underscript x right-arrow x 0 Endscripts epsilon left-parenthesis x right-parenthesis equals 0 gelten, der Fehler epsilon left-parenthesis x right-parenthesis muss gegen null gehen, wenn Sie mit x gegen den Punkt x 0 wandern.

      Diese geometrische Interpretation der Ableitung funktioniert analog zum eindimensionalen Fall auch in mehrdimensionalen Situationen. Abhängig von den beteiligten Dimensionen ist dies allerdings nicht immer durch eine Graphik anschaulich darzustellen. Für eine Funktion f colon double-struck upper R squared right-arrow double-struck upper R funktioniert das aber noch. Hier entspricht die Tangentialebene an den Graphen von f an der Stelle left-parenthesis x 0 comma y 0 right-parenthesis Superscript down-tack

g 0 left-parenthesis x comma y right-parenthesis equals f left-parenthesis x 0 comma y 0 right-parenthesis plus a 1 left-parenthesis x minus x 0 right-parenthesis plus a 2 left-parenthesis y minus y 0 right-parenthesis equals f left-parenthesis x 0 comma y 0 right-parenthesis plus upper A left-parenthesis StartBinomialOrMatrix x Choose y EndBinomialOrMatrix minus StartBinomialOrMatrix x 0 Choose y 0 EndBinomialOrMatrix right-parenthesis

      Prinzipiell können Sie das natürlich genauso für reellwertige Abbildungen von n Variablen machen, nur die graphische Darstellung funktioniert dabei nicht mehr. Sie erhalten damit einen Spezialfall der am Anfang dieses Abschnitts genannten Eigenschaften differenzierbarer Funktionen.

zum Graphen von
an der Stelle left-parenthesis x 0 comma y 0 right-parenthesis

StartLayout 1st Row 1st Column f left-parenthesis x right-parenthesis equals f left-parenthesis x overbar right-parenthesis 2nd Column plus 3rd Column a 1 left-parenthesis x 1 minus x overbar Subscript 1 Baseline right-parenthesis plus a 2 left-parenthesis x 2 minus x overbar Subscript 2 Baseline right-parenthesis plus ellipsis plus a Subscript n Baseline left-parenthesis x Subscript n Baseline minus x overbar Subscript n Baseline right-parenthesis 2nd Row 1st Column Blank 2nd Column plus 3rd Column epsilon 1 left-parenthesis x right-parenthesis left-parenthesis x 1 minus x overbar Subscript 1 Baseline right-parenthesis plus epsilon 2 left-parenthesis x right-parenthesis left-parenthesis x 2 minus x overbar Subscript 2 Baseline right-parenthesis plus ellipsis plus epsilon Subscript n Baseline left-parenthesis x right-parenthesis left-parenthesis x Subscript n Baseline minus x overbar Subscript n Baseline right-parenthesis EndLayout

      und

limit Underscript x right-arrow x overbar Endscripts epsilon 1 left-parenthesis x right-parenthesis equals limit Underscript x right-arrow x overbar Endscripts epsilon 2 left-parenthesis x right-parenthesis equals ellipsis equals limit Underscript x right-arrow x overbar Endscripts epsilon Subscript n Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals 0

      gilt.

      Für differenzierbare reellwertige Funktionen von n Variablen gilt näherungsweise:

f left-parenthesis x right-parenthesis almost-equals f left-parenthesis x overbar right-parenthesis plus a 1 left-parenthesis x 1 minus x overbar Subscript 1 Baseline right-parenthesis plus a 2 left-parenthesis x 2 minus x overbar Subscript 2 Baseline right-parenthesis plus ellipsis plus a Subscript n Baseline left-parenthesis x Subscript n Baseline minus x overbar Subscript n Baseline right-parenthesis period

      Wenn Sie a colon equals left-parenthesis a 1 comma a 2 comma ellipsis comma a Subscript n Baseline right-parenthesis Superscript down-tack, x und x overbar als Spaltenvektoren interpretieren, erhalten Sie die relativ einprägsame Regel:

f left-parenthesis x right-parenthesis almost-equals f left-parenthesis <p style= Скачать книгу