Mathematik für Ingenieure II für Dummies - J. Michael Fried

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      Der Ableitungsvektor upper D f einer reellwertigen Funktion f wird so häufig gebraucht, dass er einen eigenen Namen verdient.

      

Der n-dimensionale Spaltenvektor

nabla f left-parenthesis x right-parenthesis colon equals Start 4 By 1 Matrix 1st Row StartFraction partial-differential f Over partial-differential x 1 EndFraction left-parenthesis x right-parenthesis 2nd Row StartFraction partial-differential f Over partial-differential x 2 EndFraction left-parenthesis x right-parenthesis 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row StartFraction partial-differential f Over partial-differential x Subscript n Baseline EndFraction left-parenthesis x right-parenthesis EndMatrix element-of double-struck upper R Superscript n

      heißt Gradient von f an der Stelle x.

       Der Gradient nabla f einer reellwertigen Funktion f ist die transponierte totale Ableitung von f. Der Gradient ist ein Spaltenvektor, während die totale Ableitung von f ein Zeilenvektor ist.

      Diesen Zusammenhang zwischen partiellen Ableitungen und der totalen Ableitung einer reellwertigen Funktion finden Sie analog auch bei vektorwertigen Funktionen.

       Existiert die totale Ableitung einer vektorwertigen Funktion f colon double-struck upper R Superscript n Baseline right-arrow double-struck upper R Superscript m mit den Komponentenfunktionen f Subscript i an der Stelle x overbar element-of upper D left-parenthesis f right-parenthesis subset-of-or-equal-to double-struck upper R Superscript n, dann existieren dort auch die partiellen Ableitungen StartFraction partial-differential f Subscript i Baseline Over partial-differential x Subscript j Baseline EndFraction von f. Die totale Ableitung von f ist dann durch die Matrix

upper D f left-parenthesis x overbar right-parenthesis equals Start 4 By 4 Matrix 1st Row 1st Column StartFraction partial-differential f 1 left-parenthesis x overbar right-parenthesis Over partial-differential x 1 EndFraction 2nd Column StartFraction partial-differential f 1 left-parenthesis x overbar right-parenthesis Over partial-differential x 2 EndFraction 3rd Column ellipsis 4th Column StartFraction partial-differential f 1 left-parenthesis x overbar right-parenthesis Over partial-differential x Subscript n Baseline EndFraction 2nd Row 1st Column StartFraction partial-differential f 2 left-parenthesis x overbar right-parenthesis Over partial-differential x 1 EndFraction 2nd Column StartFraction partial-differential f 2 left-parenthesis x overbar right-parenthesis Over partial-differential x 2 EndFraction 3rd Column ellipsis 4th Column StartFraction partial-differential f 2 left-parenthesis x overbar right-parenthesis Over partial-differential x Subscript n Baseline EndFraction 3rd Row 1st Column vertical-ellipsis 2nd Column vertical-ellipsis 3rd Column down-right-diagonal-ellipsis 4th Column vertical-ellipsis 4th Row 1st Column StartFraction partial-differential f Subscript n Baseline left-parenthesis x overbar right-parenthesis Over partial-differential x 1 EndFraction 2nd Column StartFraction partial-differential f Subscript n Baseline left-parenthesis x overbar right-parenthesis Over partial-differential x 2 EndFraction 3rd Column ellipsis 4th Column StartFraction partial-differential f Subscript n Baseline left-parenthesis x overbar right-parenthesis Over partial-differential x Subscript n Baseline EndFraction EndMatrix

      gegeben. Wie im Abschnitt »Totale Differenzierbarkeit« bereits erwähnt wurde, heißt diese Matrix upper D f Jacobi-Matrix von f.

      Ein Beispiel: Die Funktion g colon double-struck upper R squared right-arrow double-struck upper R mit

g left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis colon equals StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column StartFraction x 1 x 2 Over x 1 squared plus x 2 squared EndFraction 2nd Column falls 3rd Column left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis not-equals left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis 2nd Row 1st Column 0 2nd Column falls 3rd Column left-parenthesis x 1 comma x 2 right-parenthesis equals left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis EndLayout

      ist nach dem Abschnitt »Nur einen Teil: Die partielle Ableitung« an der Stelle left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis zwar nicht stetig, aber besitzt dort beide partiellen Ableitungen g Subscript x 1 Baseline left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis und g Subscript x 2 Baseline left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis. Wäre die Funktion g dort auch total differenzierbar, dann müsste g in left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis stetig sein. Da sie das nicht ist, kann sie dort nicht total differenzierbar sein.

       Die totale Differenzierbarkeit einer Funktion bedeutet also tatsächlich mehr als die Existenz aller partiellen Ableitungen, auch wenn Sie, falls die betreffende Funktion überhaupt total differenzierbar ist, die totale Ableitung über die partiellen Ableitungen ausrechnen können.

      Das klingt verwirrend und stellt in der Tat eine Falle dar, in die Sie bei Differenzierbarkeitsuntersuchungen geraten könnten. Allerdings können Sie den partiellen Ableitungen f Subscript x Sub Subscript i oft ansehen, dass die Funktion Скачать книгу