Mathematik für Ingenieure II für Dummies - J. Michael Fried

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alt="f"/> auch total differenzierbar ist.

       Ist eine Funktion f colon double-struck upper R Superscript n Baseline right-arrow double-struck upper R in einer Umgebung von x overbar nach allen Variablen x 1 comma x 2 comma ellipsis comma x Subscript n Baseline partiell differenzierbar und alle partiellen Ableitungen f Subscript x Sub Subscript i sind im Punkt x overbar stetig, dann ist die Funktion f in x overbar auch total differenzierbar.

      Für sehr viele praxisrelevante Funktionen können Sie die Stetigkeit der partiellen Ableitungen leicht feststellen und erhalten damit dann automatisch die totale Differenzierbarkeit.

      Ein Beispiel: Die Funktion

f left-parenthesis x 1 comma x 2 comma x 3 right-parenthesis equals x 1 squared plus 2 x 1 x 2 plus x 2 x 3 cubed plus 2

      ist in der Umgebung eines jeden Punkts x overbar element-of double-struck upper R cubed partiell differenzierbar:

StartLayout 1st Row 1st Column StartFraction partial-differential Over partial-differential x 1 EndFraction f left-parenthesis x 1 comma x 2 comma x 3 right-parenthesis 2nd Column equals 3rd Column 2 x 1 plus 2 x 2 2nd Row 1st Column StartFraction partial-differential Over partial-differential x 2 EndFraction f left-parenthesis x 1 comma x 2 comma x 3 right-parenthesis 2nd Column equals 3rd Column 2 x 1 plus x 3 cubed 3rd Row 1st Column StartFraction partial-differential Over partial-differential x 3 EndFraction f left-parenthesis x 1 comma x 2 comma x 3 right-parenthesis 2nd Column equals 3rd Column 3 x 2 x 3 squared period EndLayout

      Diese partiellen Ableitungen sind Polynome in den drei Variablen x 1 comma x 2 und x 3 und daher überall stetig. Damit ist die Funktion f überall total differenzierbar.

      Richtungsableitungen

      Für eine reellwertige Funktion können Sie sich vorstellen, dass die partiellen Ableitungen Ihnen die Steigung des Graphen in die durch die Koordinantenachsen vorgegebenen Himmelsrichtungen angibt. Eine Richtungsableitung in Richtung u gibt Ihnen entsprechend die Steigung des Graphen in dieser Richtung an.

      

Für eine Funktion f colon double-struck upper R Superscript n Baseline right-arrow double-struck upper R und einen Richtungsvektor u element-of double-struck upper R Superscript n heißt

f Subscript u Baseline left-parenthesis x 0 right-parenthesis colon equals StartFraction partial-differential f Over partial-differential u EndFraction left-parenthesis x 0 right-parenthesis colon equals limit Underscript h right-arrow 0 Endscripts StartFraction f left-parenthesis x 0 plus h u right-parenthesis minus f left-parenthesis x 0 right-parenthesis Over h EndFraction

      die Richtungsableitung von f in Richtung u an der Stelle x 0 des Definitionsbereichs von f.

      Sie können die Steigung einer differenzierbaren reellwertigen Funktion f in jede beliebige Richtung u mit Hilfe der durch den Gradienten gegebenen totalen Ableitung direkt aus den Steigungen in Richtung der Koordinatenachsen, den partiellen Ableitungen, berechnen. Es ist

f Subscript u Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals nabla f left-parenthesis x right-parenthesis Superscript down-tack Baseline dot u equals parallel-to nabla f left-parenthesis x right-parenthesis parallel-to dot parallel-to u parallel-to cosine left-parenthesis alpha right-parenthesis period

      Dabei ist alpha der Winkel zwischen dem Gradientenvektor nabla f left-parenthesis x right-parenthesis und dem Richtungsvektor u. Aus dieser einfachen Beziehung erhalten Sie eine interessante Schlussfolgerung:

      Verwenden Sie normierte Richtungsvektoren u element-of double-struck upper R mit Betrag parallel-to u parallel-to equals 1, dann ist die Steigung in Richtung des Gradienten maximal und senkrecht zur Gradientenrichtung minimal, da in diesen Fällen der Winkel alpha equals 0 beziehungsweise alpha equals pi ist. Die Steigung verschwindet auf jeden Fall dann, wenn der Richtungsvektor u senkrecht auf dem Gradienten steht. In diesem Fall ist der Winkel alpha equals StartFraction pi Over 2 EndFraction und daher f Subscript u Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals 0. In diese Richtung ist die Funktion Скачать книгу