alt="left-parenthesis 0 comma 0 right-parenthesis"/>. Nach Grenzwertdefinition erhalten Sie daher:
Die beiden gemischten partiellen Ableitungen 2. Ordnung ![f Subscript x 1 x 2]()
und ![f Subscript x 2 x 1]()
sind also nicht gleich, es kommt auf die Reihenfolge der einzelnen Ableitungen an.
![]()
Falls die betrachteten partiellen Ableitungen Unstetigkeitsstellen besitzen, müssen Sie bei der Berechnung höherer partieller Ableitungen die Reihenfolge der einzelnen Ableitungen beachten.
Das ist lästig, denn selbst eine reellwertige Funktion von nur zwei Variablen hat zum Beispiel schon acht möglicherweise unterschiedliche partielle Ableitungen 3. Ordnung, die Sie im Prinzip alle einzeln berechnen müssen.
Stetigkeit heilt das: Der Satz von Schwarz
Im Zusammenhang mit höheren partiellen Ableitungen ist eine Eigenschaft besonders nützlich: stetige partielle Differenzierbarkeit.
Eine Funktion ![f colon double-struck upper R Superscript n Baseline right-arrow double-struck upper R Superscript m]()
heißt auf einer Menge ![upper D subset-of-or-equal-to double-struck upper R Superscript n]()
![k]()
-mal stetig partiell differenzierbar, wenn für alle ![x element-of upper D]()
die partiellen Ableitungen bis zur ![k]()
-ten Ordnung existieren und auf ![upper D]()
stetig sind.
Eine solche Funktion wird eine ![script upper C Superscript k]()
-Funktion auf ![upper D]()
genannt, in Formeln:
![f element-of script upper C Superscript k]()
Stetig partiell differenzierbare Funktionen werden oft glatte Funktionen genannt. Je öfter eine Funktion stetig partiell differenzierbar ist, desto glatter ist sie.
Die Berechnung der höheren partiellen Ableitungen einer Funktion ![f]()
vereinfacht sich, falls ![f]()
glatt genug ist.
![]()
Der Satz von Schwarz: Ist ![f]()
auf einer offenen Menge ![upper D subset-of-or-equal-to double-struck upper R Superscript n]()
![k]()
-mal stetig partiell differenzierbar, dann können Sie die Reihenfolge der partiellen Differentiationen aller partiellen Ableitungen der Ordnungen ![2 comma ellipsis comma k]()
beliebig vertauschen.
Sie müssen bei einer glatten Funktion daher nicht jede höhere partielle Ableitung einzeln berechnen, sondern erhalten einige direkt durch Vertauschung der Differentiationsreihenfolge aus anderen partiellen Ableitungen. Ist zum Beispiel ![f]()
eine ![script upper C squared]()
-Funktion, dann gilt für alle ![x element-of upper D]()
und alle ![i comma k equals 1 comma 2 comma ellipsis comma n]()
:
![StartFraction partial-differential squared f Over partial-differential x Subscript i Baseline partial-differential x Subscript k Baseline EndFraction left-parenthesis x right-parenthesis equals StartFraction partial-differential squared f Over partial-differential x Subscript k Baseline partial-differential x Subscript i Baseline EndFraction left-parenthesis x right-parenthesis period]()
