Mathematik für Ingenieure II für Dummies - J. Michael Fried

Скачать книгу

Grenzwertuntersuchungen die mathematische Grundlage. Allerdings sind diese im Mehrdimensionalen mitunter ein wenig trickreicher: Es gibt schon im Zweidimensionalen unendlich viele Richtungen, aus denen Sie sich einem Punkt nähern können. Dadurch entstehen unter Umständen im Mehrdimensionalen Situationen, die im Eindimensionalen nicht vorkommen können. Außerdem ist es oft viel schwieriger, sich eine Situation im Mehrdimensionalen anschaulich vorzustellen. In diesem Abschnitt erkläre ich Ihnen, was Funktionen mehrerer Veränderlicher sind, in welchen Situationen eine graphische Darstellung möglich ist und wie die analytischen Begriffe Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen einer Variablen auf Funktionen mehrerer Variablen übertragen werden.

      Viele Variablen und ein Funktionswert

      Erste Beispiele dazu sind Funktionen, die mehreren Variablen eine Zahl als Funktionswert zuordnen.

      Ein Beispiel: Die Van der Waalsche Zustandsgleichung für ein reales Gas beschreibt den Gasdruck in Abhängigkeit von Temperatur und Molvolumen:

p equals StartFraction t dot upper R Over v minus b EndFraction minus StartFraction a Over v squared EndFraction

      Dabei steht p für den Gasdruck, t für die Temperatur und v für das Molvolumen. Mit upper R wird die allgemeine Gaskonstante bezeichnet, und a und b sind zwei weitere Konstanten, die je nach dem betrachteten speziellen Gas gewählt werden müssen.

      Der Druck p hängt also von den Variablen t und v ab, er ist eine Funktion p equals p left-parenthesis t comma v right-parenthesis dieser beiden Variablen. Für jede Kombination aus Temperatur t und Molvolumen v ungleich 0 oder b ergibt sich aus der Zustandsgleichung eine reelle Zahl als Wert für p. Die Funktion p left-parenthesis t comma v right-parenthesis ist eine reellwertige Funktion der beiden Variablen t und v. Allgemein werden reellwertige Funktionen von mehreren Variablen wie folgt definiert.

      

Eine reellwertige Funktion von n Variablen ist eine Abbildungsvorschrift f, die jedem Punkt left-parenthesis x 1 comma x 2 comma ellipsis comma x Subscript n Baseline right-parenthesis element-of upper D left-parenthesis f right-parenthesis einer Teilmenge upper D left-parenthesis f right-parenthesis subset-of-or-equal-to double-struck upper R Superscript n eindeutig eine reelle Zahl f left-parenthesis x 1 comma x 2 comma ellipsis comma x Subscript n Baseline right-parenthesis element-of upper W left-parenthesis f right-parenthesis subset-of-or-equal-to double-struck upper R zuordnet.

      Die Menge upper D left-parenthesis f right-parenthesis heißt der Definitionsbereich von f. Mit upper W left-parenthesis f right-parenthesis colon equals StartSet f left-parenthesis x right-parenthesis vertical-bar left-parenthesis x 1 comma x 2 comma ellipsis comma x Subscript n Baseline right-parenthesis element-of upper D left-parenthesis f right-parenthesis EndSet wird der Wertebereich von f bezeichnet.

       Manchmal ist es übersichtlicher, die einzelnen Variablen x 1 comma x 2 comma ellipsis comma x Subscript n Baseline zu einer vektorwertigen Variable x equals left-parenthesis x 1 comma x 2 comma ellipsis comma x Subscript n Baseline right-parenthesis element-of double-struck upper R Superscript n zusammenzufassen und f left-parenthesis x right-parenthesis statt f left-parenthesis x 1 comma x 2 comma ellipsis comma x Subscript n Baseline right-parenthesis zu schreiben. Diese Schreibweise wird meist verwendet, wenn die genaue Anzahl der Variablen nicht explizit bestimmt ist oder unwichtig ist.

       Diese Definition einer reellwertigen Funktion von n Variablen enthält als Spezialfall für n equals 1 auch die reellwertigen Funktionen einer einzigen Variablen. Alle Begriffe, die für Funktionen mehrerer Variablen definiert werden, sind daher auch direkt bei Funktionen einer einzigen Variablen verwendbar.

      Die Reihenfolge der Variablen t und v ist im obigen Beispiel willkürlich gewählt. Zwar definieren

p left-parenthesis t comma v right-parenthesis colon equals StartFraction t dot upper R Over v minus b EndFraction minus StartFraction a Over v squared EndFraction ModifyingAbove p With tilde left-parenthesis v comma t right-parenthesis colon equals StartFraction t dot upper R Over v minus b EndFraction minus StartFraction a Over v squared EndFraction

      formal zwei verschiedene Funktionen, beide stellen aber den Gasdruck dar und

Скачать книгу