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Grenzwertuntersuchungen die mathematische Grundlage. Allerdings sind diese im Mehrdimensionalen mitunter ein wenig trickreicher: Es gibt schon im Zweidimensionalen unendlich viele Richtungen, aus denen Sie sich einem Punkt nähern können. Dadurch entstehen unter Umständen im Mehrdimensionalen Situationen, die im Eindimensionalen nicht vorkommen können. Außerdem ist es oft viel schwieriger, sich eine Situation im Mehrdimensionalen anschaulich vorzustellen. In diesem Abschnitt erkläre ich Ihnen, was Funktionen mehrerer Veränderlicher sind, in welchen Situationen eine graphische Darstellung möglich ist und wie die analytischen Begriffe Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen einer Variablen auf Funktionen mehrerer Variablen übertragen werden.
Viele Variablen und ein Funktionswert
Die einfachsten Beispiele für Funktionen, die von mehreren Variablen abhängen, sind lineare Abbildungen zwischen mehrdimensionalen Vektorräumen. Solche Abbildungen werden in der linearen Algebra untersucht, nachzulesen in den ersten beiden Teilen des ersten Buches »Mathematik für Ingenieure I für Dummies«. Die Analysis beschäftigt sich dagegen hauptsächlich mit nichtlinearen Abbildungen zwischen mehrdimensionalen Räumen.
Erste Beispiele dazu sind Funktionen, die mehreren Variablen eine Zahl als Funktionswert zuordnen.
Ein Beispiel: Die Van der Waalsche Zustandsgleichung für ein reales Gas beschreibt den Gasdruck in Abhängigkeit von Temperatur und Molvolumen:
Dabei steht für den Gasdruck, für die Temperatur und für das Molvolumen. Mit wird die allgemeine Gaskonstante bezeichnet, und und sind zwei weitere Konstanten, die je nach dem betrachteten speziellen Gas gewählt werden müssen.
Der Druck hängt also von den Variablen und ab, er ist eine Funktion dieser beiden Variablen. Für jede Kombination aus Temperatur und Molvolumen ungleich 0 oder ergibt sich aus der Zustandsgleichung eine reelle Zahl als Wert für . Die Funktion ist eine reellwertige Funktion der beiden Variablen und . Allgemein werden reellwertige Funktionen von mehreren Variablen wie folgt definiert.
Eine
reellwertige Funktion von Variablen ist eine Abbildungsvorschrift
, die jedem Punkt
einer Teilmenge
eindeutig eine reelle Zahl
zuordnet.
Die Menge heißt der Definitionsbereich von . Mit wird der Wertebereich von bezeichnet.
Manchmal ist es übersichtlicher, die einzelnen Variablen zu einer vektorwertigen Variable zusammenzufassen und statt zu schreiben. Diese Schreibweise wird meist verwendet, wenn die genaue Anzahl der Variablen nicht explizit bestimmt ist oder unwichtig ist.
Diese Definition einer reellwertigen Funktion von Variablen enthält als Spezialfall für auch die reellwertigen Funktionen einer einzigen Variablen. Alle Begriffe, die für Funktionen mehrerer Variablen definiert werden, sind daher auch direkt bei Funktionen einer einzigen Variablen verwendbar.
Die Reihenfolge der Variablen und ist im obigen Beispiel willkürlich gewählt. Zwar definieren
und
formal zwei verschiedene Funktionen, beide stellen aber den Gasdruck dar und
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