Mathematik für Ingenieure II für Dummies - J. Michael Fried

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       Ich werde im Folgenden Punkte aus double-struck upper R Superscript n meist ohne Pfeile darstellen:

a Subscript n Baseline element-of double-struck upper R Superscript m Baseline comma x element-of double-struck upper R Superscript n Baseline comma ellipsis

      Allerdings wird ab und zu zur besonderen Verdeutlichung der Vektoreigenschaften auch die Pfeilschreibweise in diesem Buch verwendet werden.

      Grundlegend und sehr wichtig sind die Begriffe Umgebung und epsilon-Umgebung eines Punktes x element-of double-struck upper R Superscript n.

      

Die Menge

upper U Subscript epsilon Baseline left-parenthesis x right-parenthesis colon equals StartSet y element-of upper V vertical-bar parallel-to y minus x parallel-to less-than epsilon EndSet

      mit epsilon greater-than 0 heißt epsilon -Umgebung von x. Dabei heißt

parallel-to x parallel-to colon equals StartRoot x 1 squared plus x 2 squared plus ellipsis plus x Subscript n Superscript 2 Baseline EndRoot

      die euklidische Norm.

Eine Teilmenge upper U left-parenthesis x right-parenthesis subset-of-or-equal-to upper V heißt eine Umgebung von x, falls es eine reelle Zahl epsilon greater-than 0 gibt, sodass upper U Subscript epsilon Baseline left-parenthesis x right-parenthesis subset-of-or-equal-to upper U left-parenthesis x right-parenthesis ist.

      Der Begriff einer Umgebung erlaubt die Definition einiger weiterer wichtiger mathematischer Begriffe.

      

Eine Menge upper M subset-of-or-equal-to upper V heißt offen, falls es für jeden Punkt x element-of upper M eine Umgebung upper U left-parenthesis x right-parenthesis gibt, die ganz in der Menge upper M enthalten ist: upper U left-parenthesis x right-parenthesis subset-of upper M.

      Der Rand partial-differential upper M einer Menge upper M subset-of upper V ist die Menge aller Punkte x element-of upper V, für die jede Umgebung upper U left-parenthesis x right-parenthesis subset-of-or-equal-to upper V sowohl Punkte y element-of upper M aus der Menge upper M als auch Punkte y prime element-of upper V reverse-solidus upper M aus dem Komplement upper V reverse-solidus upper M colon equals StartSet y prime element-of upper V vertical-bar y prime not-an-element-of upper M EndSet der Menge upper M enthält.

      Der Abschluss upper M overbar einer Menge upper M subset-of-or-equal-to upper V bezeichnet die Menge

upper M overbar colon equals upper M union partial-differential upper M subset-of-or-equal-to upper V comma

      das Innere ring-above upper M subset-of-or-equal-to upper M subset-of-or-equal-to upper V der Menge upper M ist

ring-above upper M colon equals upper M reverse-solidus partial-differential upper M subset-of-or-equal-to upper V period

      Die Elemente x element-of ring-above upper M heißen innere Punkte von upper M.

      Mit Hilfe der beiden Begriffe Umgebung und epsilon-Umgebung können Sie von konvergenten Folgen und ihren Grenzwerten sprechen.

      

Eine Folge left-parenthesis a Subscript n Baseline right-parenthesis Subscript n element-of upper I mit Folgengliedern a Subscript n Baseline element-of upper V heißt konvergent, falls es ein a element-of upper V gibt, sodass es zu jeder reellen Zahl epsilon greater-than 0 eine Zahl upper N left-parenthesis epsilon right-parenthesis element-of upper I mit der Eigenschaft

a Subscript n Baseline element-of upper U Subscript epsilon Baseline left-parenthesis a right-parenthesis for-all n element-of upper I mit n greater-than-or-equal-to upper N left-parenthesis epsilon right-parenthesis

      gibt. a heißt Grenzwert oder Limes der Folge Скачать книгу