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Analysis, gewöhnliche Differentialgleichungen, Funktionentheorie, stochastische Prozesse – das alles klingt nach fortgeschrittener Mathematik. Und das ist es auch. Die Themen dieses Buchs bauen auf mathematischen Methoden aus der linearen Algebra und der eindimensionalen Analysis auf. Naturgemäß können nicht alle Grundlagen ausführlich erläutert werden: Das Buch hätte dann mindestens den doppelten Umfang. Ich gehe daher davon aus, dass Sie den größten Teil der benötigten Grundlagenmathematik schon kennen. Dazu gehören die Grundbegriffe der mathematischen Sprache, neben den üblichen Rechensymbolen auch die logischen Zeichen
![there-exists]()
für »es existiert« und
![for-all]()
für »für alle«, das Zahlensystem der reellen Zahlen
![double-struck upper R]()
mit den darin enthaltenen natürlichen Zahlen
![double-struck upper N]()
, den ganzen Zahlen
![double-struck upper Z]()
und den rationalen Zahlen
![double-struck upper Q]()
und die darauf aufbauende Vektorrechnung in den
![n]()
-dimensionalen Vektorräumen
![double-struck upper R Superscript n]()
oder die eindimensionale Analysis.
Keine Panik! Die für dieses Buch wichtigsten Begriffe und Methoden aus diesen Bereichen werde ich in diesem Kapitel kurz erläutern. Falls Sie darüber hinaus neugierig geworden sind, wie das alles im Detail aussieht, können Sie das zum Beispiel im ersten Band »Mathematik für Ingenieure 1 für Dummies« nachlesen.
Grundlagen aus der linearen Algebra
Das Rechnen mit Vektoren und Matrizen spielt für die mehrdimensionale Analysis eine ähnliche Rolle wie die Grundrechenarten für die eindimensionale Analysis. Anstelle der reellen Zahlen aus ![double-struck upper R]()
treten hierbei Vektoren als Variablen und Funktionswerte auf, und bei der Klassifizierung von Extremstellen helfen Ihnen bestimmte Eigenschaften von Matrizen weiter. Die bei der Optimierung häufig auftretenden, oft sehr schwierig zu lösenden nichtlinearen Gleichungssysteme können Sie mit Hilfe des Newton-Verfahrens durch die Lösungen linearer Gleichungssystemen zumindest approximieren. Grund genug, diese Grundlagen hier kurz zu wiederholen.
Vektor- und Matrizenrechnung
In diesem Buch werden überwiegend die beiden reellen Vektorräume ![double-struck upper R squared]()
und ![double-struck upper R cubed]()
auftreten, die gleichwertig entweder als zwei- beziehungsweise dreidimensionale Spaltenvektorräume oder als zwei- oder dreidimensionale Zeilenvektorräume aufgefasst werden.
Zwischen Spaltenvektoren
![Start 4 By 1 Matrix 1st Row x 1 2nd Row x 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row x Subscript n EndMatrix]()
und Zeilenvektoren ![left-parenthesis x 1 comma x 2 comma ellipsis comma x Subscript n Baseline right-parenthesis]()
können Sie mit Hilfe der Transposition umschalten. Die mit einem hochgestellten ![down-tack]()
bezeichnete Transposition vertauscht Zeilen mit Spalten:
![left-parenthesis x 1 comma x 2 comma ellipsis comma x Subscript n Baseline right-parenthesis Superscript down-tack Baseline colon equals Start 4 By 1 Matrix 1st Row x 1 2nd Row x 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row x Subscript n Baseline EndMatrix und Start 4 By 1 Matrix 1st Row x 1 2nd Row x 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row x Subscript n Baseline EndMatrix Superscript down-tack Baseline equals left-parenthesis x 1 comma x 2 comma ellipsis comma x Subscript n Baseline right-parenthesis]()
![]()
Spaltenvektoren (und analog Zeilenvektoren) werden komponentenweise addiert:
![Start 4 By 1 Matrix 1st Row x 1 2nd Row x 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row x Subscript n Baseline EndMatrix plus Start 4 By 1 Matrix 1st Row y 1 2nd Row y 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row y Subscript n Baseline EndMatrix colon equals Start 4 By 1 Matrix 1st Row x 1 plus y 1 2nd Row x 2 plus y 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row x Subscript n Baseline plus y Subscript n Baseline EndMatrix]()
Die Vektoraddition ist kommutativ und assoziativ.
Jeden reellen Vektor können Sie mit einer beliebigen reellen Zahl ![lamda element-of double-struck upper R]()
skalar multiplizieren. Die skalare Multiplikation wird ebenfalls komponentenweise durchgeführt:
![lamda Start 4 By 1 Matrix 1st Row x 1 2nd Row x 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row x Subscript n Baseline EndMatrix colon equals Start 4 By 1 Matrix 1st Row lamda x 1 2nd Row lamda x 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row lamda x Subscript n Baseline EndMatrix]()
Vektoraddition und skalare Multiplikation werden auch für reelle Zeilenvektoren komponentenweise definiert.
Mit Hilfe des Standardskalarprodukts können Sie Winkel zwischen zwei Vektoren
![x equals Start 4 By 1 Matrix 1st Row x 1 2nd Row x 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row x Subscript n Baseline EndMatrix comma y equals Start 4 By 1 Matrix 1st Row y 1 2nd Row y 2 3rd Row vertical-ellipsis 4th Row y Subscript n Baseline EndMatrix semicolon x comma y element-of double-struck upper R Superscript n]()
definieren und die euklidische Norm oder Länge eines Vektors ![x element-of double-struck upper R Superscript n]()
bestimmen.
Für beliebige Vektoren ![x comma y element-of double-struck upper R Superscript n]()
heißt die reelle Zahl
![left pointing angle x comma y right pointing angle colon equals sigma-summation Underscript i equals 1 Overscript n Endscripts x Subscript i Baseline y Subscript i Baseline]()
das Standardskalarprodukt der Vektoren ![x]()
und ![y]()
. Eine häufig verwendete Kurzschreibweise für das Skalarprodukt ist
![x dot y colon equals left pointing angle x comma y right pointing angle period]()
Die euklidische Norm eines Vektors ![x element-of double-struck upper R Superscript n]()
ist durch
![parallel-to x parallel-to colon equals StartRoot x dot x EndRoot equals StartRoot
<p style=]()
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