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Lage gebracht werden. Ist ns und s' ein Geradenpaar, f = 1 ist, so daA, B, C und A', B', C' die Gleichungen AB'B', BC'C', CA'A' bestehen, so bringe man und ' irgendwie in eine solche Lage (Fig.18), das' auf s fA', B', C' auf A, B, C, was ma eine Gerade von , die durch den Punkt A von s geht, und sind A1, A2, A3... irgendwelche Punkte auf ihr, so geht auch a' durch A, und man hat AA11A22A31'1'A2'2'A3'... Daher bilden die Verbindungslinien A1A1', A2A2', A3A3' ... ein B Fig Denkt man sich nun die beiden Ebenen und ' durch Strahlen der so bestimmten Richtung parallelperspektiv aufeinander bezogen, und bezeichnet den so zu einem jeden Punkt P zugeordneten Punkt zunP'', so ist nur noch zu zeigen, daP'' mit P' identisch ist. Dazu verbinde man P mit einem Punkt B von s und einem Punkt An von a so, daPBAAn ein Parallelogramm ist, dann ist nach Voraussetzung auch P'BAA'n ein Parallelogramm, und ebenso ist gemP''BAA''n ein Parallelogramm. Da nun An' mit An'' identisch ist, so gilt dies auch fP' und P'', womit der Beweis erbracht ist.25 9. Hieraus folgern wir endlich noch, daIII vorausgesetzten Eigenschaften zukommen, auch alle
§ 6. Die unendlichfernen Elemente.
Die Theorie der sogenannten unendlichfernen Elemente hat sich im Anschluß an die Lehre von der perspektiven Beziehung entwickelt. Wir werden daher ebenfalls diesen Weg einschlagen und gehen zu der in § 4 erörterten perspektiven Beziehung zurück. Naturgemäß soll es sich hier in erster Linie um eine systematische Darlegung handeln.
Sei p0 ein zur Ebene ε paralleler Strahl des Strahlenbündels S0, so ist er zu ε' nicht parallel und wird daher ε' in einem Punkt P' schneiden, während ein eigentlicher Schnittpunkt mit ε nicht vorhanden ist.26 Die in § 4 dargelegte Grundlage der perspektiven Beziehung, die jedem Punkt der einen Ebene einen Punkt der anderen zuordnet, erleidet also für den Strahl p0 zunächst eine Ausnahme. Wir beseitigen sie, indem wir auch zwei parallelen Geraden einen und nur einen gemeinsamen Punkt beilegen; wir nennen ihn ihren unendlichfernen Punkt. Die Bedeutung und die Tragweite dieser Festsetzung erhellt aus folgendem.
Zunächst folgern wir, daß allen einander parallelen Geraden derselbe unendlichferne Punkt beizulegen ist. Ist nämlich G∞ der gemeinsame Punkt zweier parallelen Geraden g und g1 und ist auch g2 zu g parallel, so haben unserer Festsetzung gemäß auch g und g2 ihren unendlichfernen Punkt gemein, und da es für jede Gerade nur einen geben soll, so geht sowohl g1 als auch g2 durch G∞ hindurch.
Nun denke man sich in der Ebene ε irgendeine Gerade p gezogen, die zu dem oben angenommenen Strahl p0 parallel ist, so haben auch diese beiden Geraden ihren unendlichfernen Punkt gemein; es geht also p0 durch den unendlichfernen Punkt P∞ von p hindurch. Die obenerwähnte Ausnahmestellung des Strahles p0 ist damit beseitigt; er hat jetzt mit ε und ε' je einen Punkt gemein, nämlich P' und P∞ und ordnet auch diese Punkte einander zu.
Übrigens ist, was zu bemerken ist, der zu P' so zugeordnete Punkt P∞ davon unabhängig, welche zu p0 parallele Gerade von ε wir zu seiner Definition benutzen; in der Tat gehen alle diese Geraden durch denselben Punkt P∞ hindurch.
Fig Sei nun wieder (Fig.19) 0 diejenige durch S0 gehende Ebene, die zu parallel ist, so wird sie ' in einer Geraden h' schneiden, w zun und 0 eine ihnen gemeinsame Gerade bei, die wir ihre unendlichferne Gerade nennen und durch h bezeichnen. Wie oben, folgern wir zundieselbe unendlichferne Gerade enthalten. Wesentlich ist weiter, dah die allgemeine Eigenschaft besitzt, die einer Schnittlinie zweier Ebenen zukommt, da enthaltenen unendlichfernen Punkte ist. Falls np irgendeine Gerade von ist, und p0 der durch S0 gehende zu p parallele Strahl, so liegt p0 in 0, und daher gehP, den p0 mit gemein hat, zu den Punkten, die 0 mit gemein hat; er ist also in der Tat ein Punkt von h. Der Schnittpunkt P' von p0 mit ' liegt aus demselben Grund auf h'. In 2 bezeichnen wir h' als die Fluchtlinie von '. Ebenso kann man in der Ebene ' eine unendlichferne Gerade k' definieren; sie entspricht der Geraden k von , in der von der zu ' parallelen durch S0 laufenden Ebene geschnitten wird, und die die Fluchtlinie von darstellt. Man folgert endlich noch unmittelbar den folgenden Satz: I. Bei parallelperspektiver Beziehung zweier Ebenen und ' entspricht dem unendlichfernen Punkt einer Geraden g von der unendlichferne Punkt ihrer Bildgeraden in ', und der unendlichfernen Geraden von die unendlichferne Gerade von '. Die so eingefuneigentliche Elemente. Ihre allgemeine Bedeutung ist die, daSie verb Ausnahmslosigkeit der Grundgesetze und bewirken dadurch die Abgeschlossenheit des Lehrgeb. Ich will dies f27 Beschr 1. Zwei Geraden bestimmen einen Punkt, n2. zwei Punkte bestimmen eine Gerade, n Sind n Sind zweitens von den Punkten beide eigentlich, so bestimmen sie eine eigentliche Gerade, und ebenso erhellt, daP, und der andere ein uneigentlicher Punkt Q, so ist dieser seiner Definition gemq bestimmter Richtung, und die durch P zu q gezogene Parallele ist die Verbindungslinie beider Punkte. Die Grundgesetze bleiben also in der Tat f1 aufgestellte zeichnerische Grundgesetz eine nachtr In Permanenz der Grundgesetze f 1. Alle zueinander parallelen Geraden haben einen und denselben uneigentlichen Punkt miteinander gemein, n 2. Alle zueinander parallelen Ebenen haben eine und dieselbe uneigentliche Gerade miteinander gemein, n 3. Alle zu einer Geraden parallelen Ebenen enthalten den unendlichfernen Punkt dieser Geraden. 4. Alle die Geraden und Ebenen, die gem1.3.S0 sich ins Unendliche entfernt hat. Die Parallelperspektive erscheint also auch bei dieser Betrachtung als derjenige Spezialfall der allgemeinen Perspektive, bei dem der Scheitel ins Unendliche ger 5. Die Gesamtheit aller unendlichfernen Punkte und Geraden des Raumes hat man als die unendlichferne Ebene des Raumes einzuf28
§ 7. Anwendung auf einige zeichnerische Aufgaben.
Für die folgenden Zwecke denken wir uns die Ebene ε wieder horizontal und ε' vertikal, und fassen zunächst die Achse, die Fluchtlinien und die unendlichfernen Geraden ins Auge. Sie bilden drei Paare entsprechender Geraden, nämlich (Fig. 20)
1. h∞, h', 2. s = s' und 3. k, k∞'
Diese Geraden teilen die Ebenen ε und ε' in drei entsprechende Teile, die wir durch I, II, III und I', II', III', bezeichnen wollen. Wir denken uns nun, daß eine Figur Σ' sich in der Ebene ε' bewegt, und betrachten die Bewegung der entsprechenden Figur Σ in ε. Sobald die Figur Σ' die Fluchtlinie h' erreicht, wird sich die entsprechende Figur Σ in ε zunächst bis ins Unendliche dehnen, und wenn Σ' die Fluchtlinie h' überschreitet, also aus dem Teil I' in den Teil III' übertritt, wird Σ das Unendliche durchsetzen und ebenfalls teils zu I teils zu II gehören, also scheinbar in zwei getrennte Stücke zerfallen. Die Permanenz der Gesetze, die wir für beide Ebenen zugrunde legen, führt uns aber dazu, auch die Figur der Ebene ε durch das Unendliche hindurch als zusammenhängend zu betrachten. Dies ist nichts anderes als was wir in § 6 für die Gerade g einführten; auch sie soll im Punkte G∞ ebenso zusammenhängen, wie die Bildgerade g' im Fluchtpunkt G29 . Hiervon wollen wir nun einige Anwendungen machen.
Fig Sei zunK' ein im Gebiet II' von ' enthaltener Kreis, so wird ihm in der Ebene eine im Gebiet II enthaltene Ellipse entsprechen; die sS0 mit den Punkten von K' verbinden, bilden n stellt die ebengenannte Ellipse dar30 . Wenn wir jetzt den Kreis K' so annehmen, dah' ber gelegene Ellipse in eine Parabel K' die Fluchtlinie h' kreuzt, so erhalten wir in eine Hyperbel. Wir haben uns also vorzustellen, dageschlossene Kurven sind, daber wird, und daUnendlichen zusammenh. Die Einheitlichkeit der Auffassung wird hierdurch au Es leuchtet ohne weiteres ein, da3 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln zeichnerisch herzustellen; nur tritt f' liegend annehmen, und in die ihm entsprechende Figur herstellen. Dabei gehen wir wieder so zu Werke, da um die Achse s in die Zeichnungsebene ' hineingedreht denken, haben aber nun, um zu einem Punkt P' von ' den ihm entsprechenden Punkt P von zu finden, die in 3 angegebene Vorschrift in umgekehrter Reihenfolge auszuf8, S.14) P', L und R gegeben, so ziehen wir zunl' = LP' und r' = LR', bestimmen die Schnittpunkte mit s, und ziehen durch sie unter 45o die Geraden l und r, die in ihrem Schnittpunkt den Punkt P liefern. In dieser Weise sind die folgenden Figuren gezeichnet worden. Fig Fig Fig Die Figuren21,22 und23 enthalten die dem Dreiecke A'B'C' entsprechenden Dreiecke ABC der Ebene . Sie entstehen unmittelbar, indem man zu A'B'C' in der ebengenannten Art die Bildpunkte konstruiert31 . In Fig.22 liegt eine seiner Ecken im Unendlichen, in Fig.23 zieht sich die DreiecksflC durch das Unendliche hindurch; man zeichnet es am besten so, daA'C' und B'C' je einen
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