Einführung in die Hauptgesetze der Zeichnerischen Darstellungsmethoden - Arthur Schoenflies

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      Wir stellen uns jetzt die Aufgabe, den allgemeinen geometrischen Inhalt der vorstehenden Ausführungen in kürze zu entwickeln. Dazu lassen wir die Vorstellung fallen, daß die eine Ebene Grundebene, die andere Ebene Bildebene war, betrachten beide Ebenen als geometrisch gleichwertig und bezeichnen sie insofern durch ε und ε'. Zu ihnen fügen wir wieder einen außerhalb von ihnen liegenden Punkt S0 (Fig. 12).

      

Fig Ein durch den Punkt S0 gelegter Strahl p0 trifft die Ebenen. und ' in zwei Punkten, die wieder P und P' heiS0 gelegte Ebene 0 die Ebenen und ' in je einer Geraden g und g' schneiden. Gemordnen wir die Punkte P und P' und ebenso die Geraden g und g' einander zu, nennen sie entsprechende Elemente beider Ebenen, und sagen, da und ' perspektiv aufeinander bezogen sind; den Punkt S0 nennen wir das Zentrum der perspektiven Beziehung. Die Schnittlinie der beiden Ebenen und ' hat wieder die Eigenschaft, daPerspektivit und soll jetzt durch s = s' bezeichnet werden. Aus unserer Definition ergibt sich gem1 unmittelbar die Richtigkeit des folgenden Grundgesetzes der perspektiven Beziehung: I. Den Punkten A, B, C,... einer Geraden g entsprechen Punkte A', B', C',... der entsprechenden Geraden g', und den Geraden g, h, k..., die durch einen Punkt P gehen, entsprechen Geraden g', h', k'..., die durch den entsprechenden Punkt P' gehen. Ferner ergibt sich, weiter fg und g' das Theorem: II. Zwei entsprechende Geraden g und g' beider Ebenen schneiden sich auf der Perspektivit. Der Beweis folgt unmittelbar aus dem grundlegenden Satz, da, ' und der Ebene 0 gebildet wird, die g und g' enthS0 geht. Die Kanten dieser Ecke sind die Schnittlinien von je zweien dieser Ebenen, n s'), 0), '' ,0) mithin gehen s, g, g' in der Tat durch einen Punkt. Auf derselben Tatsache beruht der Beweis eines weiteren Satzes, aus dem wir zwar erst sp Wir betrachten dazu eine dreiseitige Ecke mit dem Scheitel S0, und fassen ihre Schnitte mit den Ebenen und ' ins Auge (Fig.13).17 Fig: Diese Schnitte sind zwei Dreiecke; ihre Seiten, die a, b, c und a', b', c' hei und '. Nach SatzII schneiden sich also je zwei entsprechende von ihnen in einem Punkte von s. Die drei Punkte A'' = (a,a'),'' = (b,b'),'' = (c,c') liegen daher auf der Geraden s. Dies ist unser Satz. Also folgt: III. Satz des Desargues18 : Werden aus einer dreiseitigen Ecke durch zwei Ebenen und ' zwei Dreiecke ausgeschnitten, so treffen sich die entsprechenden Seiten dieser Dreiecke in Punkten, die auf einer Geraden liegen, und zwar auf der Schnittlinie von und '. Der Satz und sein Beweis bleiben gS0 ins Unendliche rS0 f FS0 gehende Ebenen bestehen wieder Gesetze einfacher Art.19 Ich f 1. Eine zur Achse s senkrechte Ebene 0 schneidet die Ebenen und ' in zwei ebenfalls zur Achse s senkrechten Geraden n und n'. 2. Eine zur Achse s parallele Ebene 0 schneidet die Ebenen und ' in zwei zueinander und zu s parallelen Geraden p und p'. 3. FA, B, C einer solchen Geraden p und die entsprechenden Punkte A', B', C' von p' besteht die Relation AB' B'' C'' A' (1) was sich ebenso ergibt wie die analoge Tatsache in 2. Dem Halbierungspunkt einer Strecke von p entspricht also wieder der Halbierungspunkt. Ein besonderer Fall der perspektiven Lage tritt dann ein, wenn die Ebenen und ' parallel sind. Dann sind je zwei entsprechende Geraden parallel, und je zwei entsprechende Figuren einander . Ebenen dieser Art hei aufeinander bezogen.

      § 5. Die parallelperspektive Lage.

      1. Parallelen Geraden der einen Ebene entsprechen parallele Geraden der anderen; einem Parallelogramm entspricht also wieder ein Parallelogramm.20

      2. Die Relation 1) des vorigen Paragraphen gilt jetzt für je zwei entsprechende Geraden g und g' beider Ebenen; sind also A, B, C drei Punkte einer Geraden g, und A', B', C' ihre entsprechenden Punkte in ε', so ist stets

AB : BC : CA = A' B' : B'C' : C' A' (1)

      Man kann diese Relation auch in die Form

A'B'=B'C'=C'A'= ρABBCCA (2)

      setzen; sie sagt dann aus, daß jede Strecke von g' das ρ fache der entsprechenden Strecke von g ist. Je nach dem Wert von ρ erscheinen also die Strecken einer jeden Geraden von ε in ε' nach einem konstanten Verhältnis vergrößert oder verkleinert. Wir nennen ρ den zugehörigen Proportionalitätsfaktor.

      3. Der Proportionalitätsfaktor ρ ist für die einzelnen Geraden im allgemeinen verschieden; für alle zueinander parallelen Geraden hat er den gleichen Wert. Sind nämlich g und f zwei parallele Geraden, von ε, und werden auf ihnen (Fig. 14)21 die Punktepaare AB und CD so angenommen, daß ABCD ein Parallelogramm ist, so ist auch A'B'C'D' ein Parallelogramm, also A'B' = C'D', und daher auch

A'B' = C'D'
AB CD

      

Fig 4. Da in der Schnittlinie s von und ' je zwei entsprechende Punkte vereinigt liegen, so hat der Proportionalits den Wert = 1. Nach3.f s parallele Gerade. 5. Die Gesamtheit aller Strahlen, die durch zwei entsprechende Punkte P und P' gehen, nennen wir entsprechende Strahlenb. Sind a, a' und b, b' zwei Paare entsprechender Strahlen, so werden die von ihnen gebildeten Winkel (ab) und (a'b') im allgemeinen voneinander verschieden sein. Es liegt aber nahe zu fragen, ob diese Winkel f I. In zwei entsprechenden Strahlenb und ' gibt es stets ein Paar entsprechender rechtwinkliger Strahlen. Dies ist zun' senkrecht steht, daOrthogonalprojektion (1, II) handelt. In diesem Fall entsprechen sich nP und P' parallel zur Achse s laufen, wie auch diejenigen, die auf ihnen senkrecht stehen. Dies gilt auch dann noch, wenn die Richtung der projizierenden Strahlen in eine zu s senkrechte Ebene fs durch P und P' gehen, entsprechende Geraden beider Ebenen und bilden daher entsprechende rechte Winkel.22 Fig Wir haben den Beweis also nur noch fP und P' auf s gefkeine entsprechenden Geraden sind. Dazu erinnere man sich, daa und a' gem4, II auf der Achse s schneiden. Sind also (uv) und (u'v') entsprechende rechte Winkel, so schneiden sich u und u' in einem Punkt U von s, und v und v' in einem Punkt V , und es sind UPV und UP'V rechte Winkel. Man drehe nun (Fig.15) die Ebene ' um die Achse s in die Ebene hinein, so werden unserer obigen Annahme gemP und P' nicht auf einer zu s senkrechten Geraden liegen. Andererseits liegen P und P' auf dem Kreis mit dem Durchmesser UV . Damit sind aber U und V konstruierbar, ns mit demjenigen eindeutig bestimmten Kreis, dessen Mittelpunkt M zugleich auf s und auf dem zu PP' gehP' nicht auf P fU und V , also auch nur ein Paar entsprechender rechter Winkel mit P und P' als Scheiteln geben kann. Damit ist der Satz bewiesen.23 6. Um zwei gegebene Ebenen und ' parallelperspektiv, aufeinander zu beziehen, geneinem beliebigen Punkt der einen Ebene einen beliebigen Punkt der anderen als entsprechend zuzuweisen; denn diese Punkte P und P' bestimmen durch ihre Verbindungslinie die Richtung der projizierenden Strahlen und damit die perspektive Beziehung. Damit ist zu jedem Punkt Q der Ebene der Bildpunkt Q' von ' unmittelbar bestimmt und ebenso umgekehrt. 7. Wir wollen uns nun vorstellen, da und ' in andere Lagen bringen, aber das durch die perspektive Beziehung vermittelte Entsprechen der Punkte und Geraden bestehen lassen. Dann ist klar, da1.5. und ' vorhandenen Strecken und Winkel betreffen, unverQ der Ebene den Bildpunkt Q' von ' zu konstruieren, hinf II. Zu einem Punkt P der Ebene kann man den Bildpunkt P' zeichnerisch bestimmen, sobald drei Paare entsprechender Punkte A, B, C und A', B', C' bekannt sind. Zieht man n16 und17) durch P je eine Parallele zu den Seiten AB und AC, sind B1 und C1 ihre Schnittpunkte mit diesen Seiten, und B' und C' wieder deren Bildpunkte in ', so hat man AB1 B1BA'B1' B1'B', AC1 C1CA'C1' C1'C', Fig Fig Damit sind die Punkte B1' und C1' konstruktiv bestimmt. Man hat daher nur noch durch B1' und C1' je eine Parallele zu A'C' und A'B' zu ziehen, und erhP'.24 8. Wichtig ist endlich noch, da und ' in parallelperspektive Lage bringen kann, wenn man wei1.5. III. Sind zwei Ebenen so aufeinander bezogen, da1. und2. genannten

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