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Das zeichnerische Grundgesetz. Dieses Gesetz stellt eine Art allgemeiner Vorschrift auf, nach der man das Bild eines Punktes oder einer Geraden von Σ in der Ebene β herzustellen pflegt. Sie zerfällt in zwei Teile.
1. Das Bild einer Geraden g, die zwei Punkte A und B enthält, bestimmen wir so, daß wir die Bildpunkte A' und B' zeichnen und die Gerade g' ziehen, die beide verbindet. 2. Analog bestimmen wir das Bild P' eines Punktes P in der Weise, daß wir uns durch P zwei Geraden a und b legen und ihre Bildgeraden a' und b' zeichnen. Deren Schnittpunkt ist der Bildpunkt P' von P.
Wir bestimmen also die Gerade als Verbindungslinie zweier Punkte und den Punkt als Schnittpunkt zweier Geraden.
Fig Freilich liegt in der vorstehenden Vorschrift zunZirkel. Praktisch schwindet er dadurch, daA und B und die Geraden a und b in bestimmter geeigneter Weise so anzunehmen, da Unter den Punkten, durch die wir eine Gerade g rausgezeichnete Punkte ansehen kdurchdringt, der andere ist ihr sogenannter unendlichferner Punkt7 (Fig.4). Der erste Punkt wird auch Spur oder Spurpunkt der Geraden g genannt; wir bezeichnen ihn durch G'. Offenbar faller Punkte der Bildebene zutage tritt. Es besteht also der Satz: II. Jeder Punkt der Bildebene f. Um den Bildpunkt des unendlichfernen Punktes G von g zu konstruieren, haben wir zunS0G zu ziehen, also durch S0 eine Parallele zu g zu legen, und dann ihren Schnitt mit der Bildebene zu bestimmen. Dieser Schnittpunkt ist der Bildpunkt G'. Wir wollen ihn kG bezeichnen und ihn den Fluchtpunkt der Geraden g nennen.8 Der Fluchtpunkt einer Geraden ist also derjenige Punkt der Bildebene , der dem unendlichfernen Punkt dieser Geraden entspricht. Auf seine zeichnerische Bestimmung kommen wir noch n Ich schlie Um die rzusammenh, aber hinter der anderen liegende Gerade auffa9
§ 2. Die allgemeinen Gesetze für die zeichnerische Darstellung ebener Gebilde.
Wir behandeln zunächst die Herstellung der Bilder von ebenen Figuren. Insbesondere wollen wir uns die gegebene Figur Σ in einer horizontalen Ebene γ liegend denken, die wir zur Fixierung der Begriffe mit dem Fußboden zusammenfallen lassen und Grundebene nennen. Die Bildebene, die wir uns, wie bereits erwähnt, vertikal denken, heiße wieder β. Endlich denken wir uns das Auge S0 vor der Bildebene β befindlich; die Figur Σ, von der auf β ein Bild zu zeichnen ist, befindet sich dann naturgemäß hinter der Bildebene.
Die Schnittlinie von γ und β soll Achse oder Grundlinie heißen; wir bezeichnen sie durch a. Da sie eine Gerade von β ist, so fällt sie (§ 1, II) mit ihrer Bildgeraden Punkt für Punkt zusammen.
Wir beweisen nun zunächst den folgenden Satz:
I. Die Fluchtpunkte aller Geraden von γ liegen auf einer zur Grundlinie parallelen Geraden, dem sogenannten Horizont.
Fig Zum Beweise ziehen wir in der Ebene irgendeine Gerade g und konstruieren ihren Fluchtpunkt.10 Gem1 erhalten wir ihn, indem wir durch S0 die Parallele zu g legen und deren Schnitt G mit der Bildebene bestimmen. (Fig.5) Diese Parallele liegt, welches auch die Gerade g sein mag, in derjenigen Ebene 0 die durch S0 parallel zur Grundebene geht, und die wir Augenebene nennen. Daher liegt G auf der Schnittlinie dieser Ebene 0 mit , womit der Satz bewiesen ist. Die so bestimmte Gerade nennen wir den Horizont und bezeichnen ihn durch h. Seiner Definition gem. Deren Gesamtheit bezeichnet die Sprache als Horizont; als dessen Bildgerade heih ebenfalls Horizont. Aus der Definition des Fluchtpunktes folgt unmittelbar, dag,g1,g2... denselben Fluchtpunkt haben; f mit dem nS0 gezogenen Strahl. Also folgt: II. Jeder Schar paralleler Geraden g,g1,g2... der Grundebene entsprechen in der Bildebene Geraden g',g'1,g'2..., die durch einen und denselben Punkt des Horizontes gehen. Fig Unter den Scharen paralleler Geraden von nehmen vier eine bevorzugte Stellung ein; die zur Bildebene normalen Geraden, die beiden Scharen, die mit ihr einen Winkel von 45o einschlie F normalen Geraden n erhalten wir den Fluchtpunkt, indem wir von S0 ein Lot auf f6) Der FuN ist der Fluchtpunkt; er heiAugenpunkt. Die Fluchtpunkte der gegen unter 45o geneigten Geraden l und r seien L und R. Sie heiDistanzpunkte. Ihrer Definition gemS0L und S0R mit je einen Winkel von 45o, folglich ist S0N NL NR. (1) Fig Die beiden Punkte L und R bestimmen daher die Entfernung des Auges von der Bildebene; hierauf beruht es, dal und r praktisch wie theoretisch als bevorzugte Richtungen aufzufassen sind. Ist endlich p eine Gerade von , die zur Bildebene, also auch zur Grundlinie a parallel ist, so gilt dies auch fp'. F7). 1. Ist B der Halbierungspunkt der Strecke AC, so ist auch B' der Halbierungspunkt von A'C'. 2. Sind A, B, C irgend drei Punkte von p, und A', B', C' deren Bildpunkte, so ist AB : BC : CA = A'B' : B'C' : C'A'. (2) Beides folgt unmittelbar aus dem bekannten Satz, da1.2. Ist in der Bildebene auL und R auch die Grundlinie a gegeben, so ist damit nicht allein die Entfernung des Auges von der Bildebene, sondern auch seine Hk a, L und R beliebig angenommen werden. Damit ist alsdann die Lage des Auges im Raume durch zeichnerische Bestimmungsst Um die Entfernung des Auges von der Bildebene zu bestimmen, kann man L und R die Fluchtpunkte E und F irgend zweier Geraden e und f von bekannter Richtung auf dem Horizont h beliebig annehmen. Zieht man n0 durch E die Parallele zu e und durch F die Parallele zu f, so gehen beide Parallelen durch S0 und bestimmen damit wieder die Lage des Auges zur Bildebene.11
§ 3. Die praktischen Regeln der zeichnerischen Darstellung.
Eine Figur von γ, von der wir in β ein Bild herstellen sollen, muß geometrisch oder zeichnerisch gegeben sein; am besten auf demjenigen Blatt, auf dem wir die Zeichnung wirklich ausführen. Hierzu drehen wir die Ebene γ um die Grundlinie a als Achse so lange, bis sie in die Ebene β hineinfällt, und zwar unter dasjenige Stück von β, auf dem das Bild entstehen soll. Beide Ebenen sind so auf demselben Zeichnungsblatt vereinigt.
Fig Durch diesen Kunstgriff wird die zeichnerische Herstellung des Bildes auP von den Bildpunkt P' zu konstruieren, lege man (Fig.8) gem1 durch P je eine Gerade l und r12 , und bestimme P' als den Schnittpunkt der Bildgeraden l' und r'. Diese beiden Bildgeraden lassen sich unmittelbar zeichnen. Ist nL' der Schnitt von l mit a, so ist L' der Spurpunkt von l, seine Verbindung mit dem Fluchtpunkt L liefert also die Bildgerade l'. Ebenso erhalten wir die Bildgerade r', wenn wir den Punkt R mit dem Schnittpunkt R' von r und a verbinden. In dem Vorstehenden ist die Hauptregel des praktischen Zeichnens enthalten. Hat man in insbesondere eine Figur, die irgendwie aus Punkten und deren Verbindungslinien besteht, so wird man in der angegebenen Weise zun 1. In erster Linie empfiehlt sich die Benutzung solcher Geraden von , die der Grundlinie parallel sind; denn ihre Bildgeraden sind gem2 ebenfalls zur Grundlinie parallel. 2. Enth eine Reihe paralleler Geraden g, g1, g2... (Fig.5), so wird man zung, die Bildgerade g' bestimmen; in ihrem Schnittpunkt mit dem Horizont h hat man dann sofort den Fluchtpunkt G dieser Geradenschar, und damit einen Punkt, durch den alle Bildgeraden g'1, g'2... hindurchgehen. 3. Hat man es mit einer Figur zu tun, die zwei ausgezeichnete Richtungen hat, die a haben kL und R auf A als gegeben annimmt.13 4. Man beachte, dagute Bilder zu erzielen, die Fluchtpunkte demgemL N gleich der doppelten H14 5. Um mgenaue Bilder zu erhalten, empfiehlt es sich, zeichnerische P den Bildpunkt P' zu bestimmen, kann man P als gemeinsamen Punkt von drei durch ihn gehenden Geraden betrachten und zu ihnen die Bildgeraden zeichnen; ist die Zeichnung vollkommen, so werden sie alle drei durch einen Punkt gehen.15 Die Genauigkeit der Zeichnung wird auch dadurch erh1 er Nach den vorstehenden Regeln sind die folgenden Aufgaben behandelt worden, bei denen wir aua im allgemeinen L und R als gegeben angenommen haben. Fig 1. Den Fluchtpunkt einer Geraden g zu zeichnen. (Fig.9) Ist P ein Punkt von g, so lege man durch P die Geraden l und r, konstruiere ihre Bildgeraden l' und r', und verbinde ihren Schnittpunkt P' mit dem Spurpunkt G', in dem g die Achse a trifft. Diese Verbindungslinie schneidet den Horizont h im Fluchtpunkt G. 2. Das Bild einer quadratischen Teilung zu zeichnen, deren Linien senkrecht und parallel zur Achse verlaufen. (Fig.10) Die Diagonalen unserer Teilung sind lauter Linien l und r; jeder Teilungspunkt ist also ein Schnittpunkt je zweier solcher Geraden. Damit sind die Bildpunkte unmittelbar bestimmbar, und ebenso deren Verbindungslinien. Fig Hier kann man auch die zur Achse senkrechten Linien n und ihren Fluchtpunkt N statt der Linien l oder r benutzen. Vor allem aber ist zu beachten, da 3. In ist eine regul11) Da die Sechseckteilung stets zwei bevorzugte Scharen paralleler Linien enth11 erkennen l 4. Analog kann man die Zeichnung anderer Figuren ausf Ich schlie1 wurde erwDies ist daher stets zu vermeiden.16 Fig
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