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Manual de preparación PSU Matemática. Varios autores
Читать онлайн.Название Manual de preparación PSU Matemática
Год выпуска 0
isbn 9789561426771
Автор произведения Varios autores
Жанр Учебная литература
Издательство Bookwire
e) z3 = –3 + i, z4 = 1 + i; E = z3 + z4
f) z5 = 1 – 2i, z6 = 3i; F = z5 + z6
g) z1 = –2i, z2 = –5 + i; G = z1 + z2
h) z3 = – i, z4 = 2i; H = z3 + z4
i) z5 = 6 – i, z6 = 3 + 3i; I = z5 + z6
j) z1 = 7 – 2i, z4 = 5 – 5i; J = z1 + z4
3. Verifica si cada afirmación es verdadera o falsa.
a) El inverso aditivo de z = 1 + i es w = –1 + i.
b) Siempre la suma de números complejos es un número real.
4. Observa el plano de Argand y luego resuelve o responde según corresponda.
5. Resuelve.
a) Si (9 – 3i) + z = 15 + i, ¿cuál debe ser el número complejo z?
b) Si w + (–6 – 2i) = 17 + 3i, ¿cuál debe ser el conjugado de w?
c) Si z = –6 + bi, w = c + 7i y además z + w = –9 – 15i, ¿cuáles son los valores de b y c?
Para resolver una sustracción entre dos o más números complejos se restan, respectivamente, las partes reales y las partes imaginarias.
Si z, w
Al relacionar la sustracción con el conjugado de un número complejo, se tiene lo siguiente:
• Si z = a + bi, se tiene que z –
z –
• Considerando z
• Si z = a + bi y w = c + di, se tiene
Actividades resueltas
1. Si z = 5 – 7i, w = – 7 + 6i, ¿cuánto es z – w?
z – w = (5 – –7) + (–7 – 6)i = 12 – 13i
2. Si (– 4 + 2i) – z = –3 + 2i, ¿cuál debe ser el número complejo z?
Si z = a + bi, se tiene:
(–4 + 2i) – (a + bi) = –3 + 2i ⇒ (–4 – a) + (2 – b)i = –3 + 2i
Igualando sus partes real e imaginaria se obtiene:
• Parte real: –4 – a = –3 ⇒ a = –1
• Parte imaginaria: 2 – b = 2 ⇒ b = 0
Por lo tanto, z = –1.
Nota histórica
Si bien los números imaginarios eran conocidos desde el siglo XVI, no fue hasta principios del siglo XIX que se les dio validez a partir de su interpretación geométrica (plano de Argand). Esta interpretación fue dada casi simultáneamente por el matemático Carl F. Gauss (1777-1855) y dos aficionados a la matemática: un noruego de apellido Wessel (1745-1818) y un tenedor de libros parisino llamado Argand (1768-1822).
3. Si z1 = 3 + 2i, z2 = 2 – i, z3 = 5 + i, resuelve y representa las siguientes sustracciones: z3 – z2 y z3 – z1.
z3 – z2 = (5 + i) – (2 – i)
= 3 + 2i
= z1
z3 – z1 = (5 + i) – (3 + 2i)
= 2 – i
= z2
Actividades
1. Si z1 = 6 – 4i, z2 = –4i, z3 = –3 + 2i, z4 = 6 + 4i, calcula.
2. Si z1 = 3 – 4i, z2 = –5 – 2i, z3 = –2 – 6i, z4 = –3 + 4i, calcula y luego representa en un plano de Argand lo siguiente.
3. Verifica si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta.
a) La sustracción entre un número complejo y su conjugado da como resultado un número real.
b) La diferencia entre números complejos cumple la propiedad asociativa.
c) El resultado de (1 – i) – (1 + i) – (–1 – i) es igual a 1.
4. Observa el plano de Argand y luego resuelve.
5. Resuelve.
a) Si (3 – 5i) – z = 14 + 5i, ¿cuál debe ser el número complejo z?
b) Si w – (–6 + 13i) = 8 – 5i, ¿cuál debe ser el conjugado del número complejo w?
c) Si z = a – (3 – b)i, w = 12 + (5 – 4b)i y además w – z = –5 – 4i, ¿cuáles son los valores de a y b?
6. Demuestra las siguientes igualdades.