Системные человеческие джунгли рисков - В. Б. Живетин Риски и безопасность человеческой деятельности

Скачать книгу

стационарное решение системы (1.7), когда δn и δe – постоянные величины. Из уравнений (1.7) при
= 0,
= 0 следует, что возможности (расход) всегда будут равняться потребностям (поступлениям), если имеет место равенство

      (1 – γ)(1 + р*) = 1.        (111)

      При этом доля расходов γ удовлетворяет условию

      Таким образом, обобщенным параметром, определяющим допустимые расходы, выступает произведение τр. График зависимости (1.12) представлен на рис. 1.20. Если γ принадлежит кривой γ = f(τp), то количество отданного энергетическо-информационного потенциала θ равно количеству полученного θ. В случае когда γ не принадлежит кривой, нарушается баланс, и динамическая система либо развивается, либо деградирует. Рассмотрим это на режиме возмущенного движения для процесса δe(t), изменение которого задано первым уравнением системы (1.7).

      Рис. 1.20

      Исключив δn(t) из системы (1.7), получим одно дифференциальное уравнение второго порядка относительно δe(t):

      После того как построен процесс δe(t) согласно уравнению (1.13), неизвестный процесс δn(t) может быть определен из первого уравнения (1.7). Если коэффициенты уравнения (1.13) постоянны, то, используя известные методы, получим его аналитическое решение. Для этого запишем характеристическое уравнение

      τDτkλ2 + (τD + τk)λ + [1 – (1 – γ)(1 + p*)] = 0,              (1.14)

      решение которого имеет вид

      где Δ = (τD + τk)2 – 4τDτk [1 – (1 – γ)(1 + p*)].

      Если равенство (1.11) не выполняется, то в зависимости от величины и знака детерминанта δ корни λ2 будут вещественными или комплексными.

      Введем обозначение

      При этом

      Величина а2 всегда положительна. Положительна также и а в силу того, что τD > 0, τk > 0. Если τD < 0 и τk < 0, то рассматриваются динамические системы не с запаздывающим аргументом, а с опережающим, а это нонсенс (не может быть).

      Величина b может быть как положительной, так и отрицательной. В зависимости от соотношения а2 и b дискриминант δ может иметь разный знак.

      При этом возможны следующие варианты.

      Вариант 1. Случай, когда a2 > b, дискриминант Δ > 0 и оба корня λ1,2 вещественные. В этом случае общее решение уравнения (1.13) имеет вид

      δe(t) = exp(–at){1/2 · (c1 + c2)exp(ct) + 1/2 · (c1 – c2)exp(–ct)},       (1.16)

      где

.

      Постоянные с 1 и с2 зависят от начальных данных δе0 и

и параметров системы следующим образом:

      Анализ поведения динамической системы начнем со случая b = 0, соответствующего равновесному состоянию рассматриваемой системы. При этом выполняется условие (1.11) и Δ = a2, когда имеет место λ12 = –a ± a, т. е. λ1 = 0, λ2 = –2a.

      Общее решение (1.16) примет вид

      δe(t) = (c1 + c2) / 2 + (c1 – c2) / 2 · exp(–2at),

      где c1 = δe0, c2 = Скачать книгу