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z. B.
a1 und
a2 die beiden Risse einer Ecke, so errichten wir im Punkt
a1 der Grundrißebene eine Senkrechte zur Π
1, und ebenso konstruieren wir im Punkte
a2 der Aufrißebene eine Senkrechte zu ihr. Dann werden sich diese beiden Lote schneiden, und ihr Schnittpunkt gibt die Ecke
a. In der gleichen Weise können wir für alle anderen Ecken des Würfels ihre Lage im Raume bestimmen. Also ist auch der ganze Würfel dadurch festgelegt: es wäre möglich, z. B. durch Stäbchen und Glasperlen die Ecken des Würfels wirklich im Raume anzugeben. Überhaupt kann man sagen:
Satz 5. Sind die beiden Tafeln im Raume gegeben und in ihnen die Risse eines Gegenstandes, in der richtigen Zuordnung, so daß also von jedem Punkte die beiden Risse unterschieden werden, so ist dadurch der Gegenstand und seine Lage im Raume bestimmt.
Fig. 9.
7. Das Zusammenlegen der Tafeln. Es wäre recht unbequem, wollte man sich stets der beiden senkrecht zueinander befestigten Tafeln bedienen, wenn man sich auf Grund irgendwelcher Risse einen Körper vorstellen soll. Was wir wollen, ist eine auf einem Blatte befindliche Zeichnung, die dann bequem überall zu benutzen ist. Zu einer solchen gelangen wir, wenn wir die zweite Tafel sich mit der ersten vereinigen lassen. Es sei K die Schnittlinie der beiden Tafeln (Fig. 9), die wir kurz die Kante nennen. Wir drehen nun die Π2 um K wie um ein Scharnier so lange, bis Π2 mit Π1 zusammenfällt.
Die Figur 9 veranschaulicht wieder zunächst den räumlichen Vorgang. Der beliebige Punkt a hat als ersten Riß den Punkt a1, als zweiten Riß den Punkt a2' Es fragt sich, wohin a2' gelangt, wenn die Aufrißebene Π2 durch die Drehung mit der Grundrißebene zur Deckung gebracht wird. Die beiden Senkrechten aa1 und aa2' bestimmen doch eine Ebene, welche auf der Kante K senkrecht steht. Der Schnittpunkt dieser in Fig. 9 schraffierten Ebene mit der Kante K sei a. Es ist also jetzt sowohl a1a ⊥ K1 als auch a2'a ⊥ K. Bei der Drehung der Aufrißebene beschreibt a2' einen Kreis mit dem Mittelpunkt a und dem Radius a2'a, der in der schraffierten Ebene a1aa2'a liegt. Ist also a2 die Lage, welche a2' nach Ausführung der Drehung annimmt, so muß auch a2a ⊥ K sein; demnach fällt a2 auf die Verlängerung der Linie a1a, und es ist a2a = a2'a.
1 ⊥ ist das Zeichen für senkrecht auf.
Fig. 10.
In Fig. 10 bilden wir nun das Zeichenblatt selbst ab; es ist gewissermaßen doppelt zu nehmen, da es sowohl die Grund- als die Aufrißebene vorstellt. Die Kante K ist als eine horizontale Linie darauf gezeichnet. Dann müssen die beiden Risse a1 und a2 offenbar auf einem Lote zur Kante K gelegen sein; der Schnittpunkt des Lotes a1a2 mit K ist der Punkt a. Es folgt also:
Satz 6. Nach der Umlegung der Aufrißebene in die Grundrißebene liegen die beiden Risse eines Punktes stets auf einer Senkrechten zur Kante oder kurz auf einem Kantenlote.
Geben wir uns irgend zwei Punkte, jedoch so, daß sie auf einer Senkrechten zu K liegen, und ist der eine durch die Bezeichnung a1 als erster Riß, der andere durch die Bezeichnung a2 als zweiter Riß gekennzeichnet, so bestimmen diese beiden Risse einen ganz bestimmten Punkt a im Raume. Um uns denselben vorzustellen, denken wir uns die eine Hälfte des Zeichenblattes, in der a2 liegt, um K in die Höhe gedreht, bis sie auf der anderen Hälfte des Blattes senkrecht steht. Dann sind die beiden Tafeln in ihre wahre Lage gebracht, und wir finden den Punkt a auf die Weise wie es in 6. auseinandergesetzt wurde.
Fig. 11.
Einfacher ist es übrigens zu beachten, daß in Fig. 9
aa1 = a2'a = a2a.
Es gibt also in Fig. 10 die Strecke a2a den Abstand des Punktes von der Zeichenebene. Wir haben uns demnach in a1 eine Senkrechte zur Fläche des Papiers errichtet zu denken. Auf dieser Senkrechten liegt der Punkt in einem Abstande von der Zeichenfläche, der durch a2a gegeben ist.
Es ist sehr nützlich sich zu überlegen, wie die beiden Risse eines Punktes gelegen sind, wenn der betreffende Punkt verschiedene Lagen im Raume annimmt. In den Figuren 9 und 10 ist noch ein zweiter Punkt b eingetragen.
In Fig. 11 sind ferner die beiden Risse eines Würfels wirklich gezeichnet, von dem die Fig. 8 die Lage im Raume angab. Diese hier nur ihrem Wesen nach kurz skizzierte Methode des Grund- und Aufrisses wird in der darstellenden Geometrie weiter ausgeführt. Außer den perspektivischen Bildern und den geraden Rissen gibt es noch eine dritte Art von Bildern, die sog. »Schrägbilder« oder »Parallelprojektionen«. Bei ihnen ist die Projektionsrichtung nicht senkrecht zur Bildebene, sondern beliebig gegen sie geneigt. Die in diesem Buche zur Erläuterung beigegebenen Figuren, z. B. 1, 4, 6, 8, sind solche Schrägbilder. Man vergleiche darüber das Bändchen »Projektionslehre« in dieser Sammlung.
Nach diesen einleitenden Betrachtungen wollen wir uns nun eingehender mit den perspektivischen Bildern beschäftigen.
