Estadística aplicada a la ingeniería y los negocios - Carlos José Castillo

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la distribución de la media muestral (
) a una distribución normal, cuando la muestra aleatoria es obtenida de diferentes distribuciones de probabilidad para valores grandes del tamaño n de la muestra.

      Sea la variable aleatoria X ~ P(λ), con E(X) = λ, y V(X = λ

      Si se seleccionan muestras de tamaño n, con n suficientemente grande, la distribución de la media muestral es:

      Images. Es decir: Images

      y por el teorema central del límite se tiene

Images

       Ejemplo 5

      M-Design es una empresa que brinda el servicio de pintura personalizada de motos y cuatrimotores. Luego del estudio se determinó que el número de personas interesadas en el servicio ofrecido, clientes que se apersonan o realizan llamadas para consultar por dicho servicio, presenta una distribución de Poisson con una media de 16 personas por día. Suponga que se seleccionan al azar 64 días y se registra el número diario de personas interesadas, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral de personas interesadas difiera de la media poblacional en a lo más 1 persona?

       Solución

      Se define:

      X: Número diario de personas interesadas en el servicio ofrecido.

      X ~ Poisson(λ = 16)

      Como

~ N(16;0.52)

      Luego, la probabilidad solicitada es:

Images

      Interpretación: la probabilidad de que la media muestral difiera de la media poblacional, en a lo más 1 persona es de 0.9545.

      Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme U(α; β), entonces

Images

      Si se toma una muestra de tamaño n la distribución de la media muestral

es

      Images, es decir

Images

      y por el teorema central del límite, resulta Images

       Ejemplo 6

      Se sabe que el espesor de unas placas de acero es una variable aleatoria con distribución uniforme entre 12.52 y 12.88 milímetros.

      a. Si se seleccionan 48 placas de acero, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral del espesor de las placas sea de por lo menos 12.68 mm?

      b. ¿Cuál es la probabilidad de que 108 placas apiladas tengan una altura de a lo más 1.37 metros?

       Solución

      a. Sea X : Espesor, en milímetros, de una placa de acero, entonces

      X ~ U(12.52;12.88), n = 48

      Luego:

Images

      Por consiguiente, la probabilidad solicitada es

Images

      b. Sea X : Espesor, en milímetros, de una placa de acero, n = 108. Entonces,

Images

      Luego, la probabilidad solicitada es: Images

      Como el valor de la variable se encuentra expresado en milímetros y la altura de las placas apiladas en metros; para calcular la probabilidad solicitada se realiza una conversión a metros, por lo tanto:

Images

      Nota. 1 metro = 1000 milímetros.

      Se dice que una muestra es pequeña cuando el muestreo se realiza con un número no mayor de 30 observaciones. Si la muestra es grande, se aproxima a una distribución normal. En esta sección se estudiarán las distribuciones Ji cuadrado, t de Student y F de Fisher.

      Sea x1, x2,...,xn una muestra aleatoria seleccionada de una población N(μ; σ2)

      Así, se tiene Images. Luego Images

      Propiedad: sea x1, x2,…,xn una muestra aleatoria seleccionada de una población Images la varianza muestral. Entonces, se tiene Images

      Esto es, la variable aleatoria V tiene una distribución χ2 con (n - 1) grados de libertad.

      Características: si X es una variable aleatoria con distribución Ji cuadrado, con m grados de libertad, entonces:

      E(X) = m y V(X) = 2m

      El parámetro m de la distribución se conoce con el nombre de grados de libertad y es considerado como el número de valores que la variable puede tomar libremente con la condición de que la suma debe ser igual a un valor fijo, este valor se encuentra asociado con el tamaño de la muestra.

       Ejemplo 7

      El entrenador de un gimnasio realizó un estudio en relación con la distancia recorrida (en km) por los usuarios del gimnasio durante media hora de ejercicio en la caminadora mecánica. Como resultado del estudio se determinó que las distancias recorridas presentan una distribución normal con media de 5.2 km y una desviación estándar de 0.4 km. Determine la probabilidad de que la desviación estándar muestral de la distancia recorrida durante media hora de ejercicio por parte de 28 usuarios del gimnasio seleccionados al azar se encuentre entre 0.36 y 0.44 km.

      

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