Estructuras de álgebra multilineal - Joaquín Olivert Pellicer Educació. Sèrie Materials

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que de la definición de la clase vacía es falso que image image image en cambio, sí tiene sentido image image image, en virtud de este teorema.

      Para finalizar esta Sección enunciaremos algunas propiedades más, de las que omitiremos sus demostraciones por considerarlas inmediatas si nos atenemos a las definiciones establecidas.

image image image image image

      Los dos axiomas establecidos en la sección precedente resultan insuficientes para estudiar todas las propiedades de los conjuntos. Así por ejemplo, todavía no podemos saber si las subclases de un conjunto son conjuntos, o que la intersección de dos conjuntos es conjunto. Igualmente desconocemos qué sucede con la unión de dos conjuntos. Necesitamos, pues, de más axiomas. Uno de ellos se refiere a los llamados subconjuntos, que son subclas propias

       III Axioma de subconjuntos

      Si x es un conjunto ,existe un conjunto Y tal que para cada z

image

      Teorena 2.1: Si x es un conjunto y z image x, entonces z es un conjunto.

      Demostración :

      Tomemos un z image x. Al ser x conjunto, podemos aplicar el axioma III, con lo que existe un conjunto Y tal que z image Y. Esto hace que z sea un conjunto, en virtud de la Definición 1.2.

      Entonces se dirá que z es subconjunto de x.

      Corolario 2.2: image no es conjunto.

       Demostración :

      La clase de Russell R es subclase de image (falta por ver si coincide con image). Entonces R . Si image fuera conjunto, R sería conjunto. Y ello conduciría directamente a la paradoja de Russell. Luego image no es conjunto.

      Corolario 2.3: Si una de las clases x, y es un conjunto, x y es un conjunto.

      Demostración :

      Supongamos que x sea un conjunto. De la Definición 1.3, 2- y la Definición 1.14, tenemos que x y x. Entonces el Teorema 2.1 asegura que x y es un conjunto.

      Teorema 2.4: image.

       Demostración :

      image, resulta que x es un conjunto, y dado que image image x (Teorema 1.15), image sería un conjunto. Ahora bien, de la Definición 1.12,image, todo elemento de image image es elemento de image pero según vimos en el Teorema 1.10, image no tiene elementos, de lo que resulta que image image tampoco posee elementos. Por el Axioma de extensión,image y image image son iguales.

      En virtud del Teorema 1.15, image imageimage image

      Veamos la inclusión contraria: image, se tiene que x es un conjunto. Por el Axioma de subconjuntos, existe un conjunto y de manera que si z C x, entonces z G y. En particular x G y, y como y G U, por la Definición 1.12, 1a, x image image. Esto hace que image image image image. Finalmente apliquemos la Propiedad image.

      Teorema 2.5: Si , x es un conjunio.

       Demostración :

      Si image, existe un image. Luego y es un conjunto; pero como x y en virtud de la Propiedad image. Resulta del Teorema 2.1

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