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Por el Lema de Zorn, B posee un elemento maximal m que también es maximal en A. En consecuencia, u m.

      Podría suceder que u fuese maximal en A. Dado que u u, résulta que u precede a sí mismo.

      Teorema 3.14: El Teorema 3.13 induce el Axioma de elección de Zer- melo.

      Demostración :

      Sea X un conjunto no vacío arbitrario, y sobre él formemos la clase A de funciones de elección definidas sobre subconjuntos de X. Esta clase es no vacía, pues los subconjuntos de la forma {x} tienen por función de elección la definida por F({z}) = x. En virtud de la Proposición 6.5 del Capítulo 1 A es conjunto por ser subclase de P(X)X, ya que si X es conjunto, P(X) es conjunto (Teorema 2.7 del mismo capítulo).

      Establezcamos en A un orden parcial: Dadas f,g A, diremos que f g si y sólo si def f def g y g |def f = f. Claramente esta relación tiene la Propiedad transitiva.

      Veamos que A es inductivo :

      Consideremos una cadena {f_i} arbitraria de A y hemos de encontrar una cota superior. Para ello construimos la aplicación

      Evidentemente es cota superior de la cadena. Luego A es inductivo.

      Al ser A inductivo, podemos tomar un elemento maximal h de A que seguirá siendo una función de elección sobre subconjuntos de X. Puede suceder que def h — p(X), o que exista un elemento no vacío (subconjunto de X) u ‘P(X) ~ def h. Si ocurre el primer caso, se tiene ya el Axioma de Zermelo. En caso contrario, tomemos un elemento v u; y definamos la función h {(u, v)} que es una función de elección sobre def h {u}. En consecuencia, h no sería element maximal.

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