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      1. Axiomática

      Inmediatamente después de que Georg Cantor publicara su Teoría de Conjuntos, surgieron serias objecciones que pusieron en tela de juicio la consistencia lógica de la misma. Entre ellas, es célebre la paradoja de Russell, propuesta por el eminente filósofo y matemático en 1902. Bertrand Russell define el “conjunto” formado por los conjuntos que no son elemento de sí mismo. Aunque a simple vista pueda parecer retorcido este tipo de objetos, si nos paramos a pensar un momento nos daremos cuenta de que no lo son, y no sólo eso, sino que se puede llegar a creer que todos los conjuntos gozan de esta propiedad. Así, por ejemplo, consideremos el conjunto B constituido por los libros de una biblioteca. Está claro que B no es un libro, y esto conduce a que B (como elemento) no pertenezca a B (como conjunto). No obstante, mientras que no se establezca algún axioma que excluya los conjuntos que sean elementos de sí mismos, consideraremos esta posibilidad.

      Volvamos a la discusión del “conjunto” de Russell, que representaremos por R, y nos planteamos si R pertenece o no a R. Si R es miembro del “conjunto” de Russell R, resulta (por la misma definición del “conjunto” de Russell) que R no es elemento de sí mismo, lo que es una contradicción. Si, por el contrario, consideramos desde principio que R es un conjunto del tipo como el de la biblioteca B, es decir, que no sea elemento de sí mismo, pertenecerá por definición al “conjunto” de Russell R, y es de nuevo contradictorio. Al final de este razonamiento, somos incapaces de asegurar si R pertenece o no a R.

      Era tal la enconada virulencia que se desencadenó en contra de la labor científica de Cantor, que se llegó al hecho inaudito de que fuera calificado de “corruptor de la juventud' por parte del influyente matemático berlinés L. Kronecker. Pronto Cantor, acosado por la incomprensión y la tenaz negativa del mundo científico de la época por reconocerle valor alguno a su obra, dio muestras de quebrantos mentales que empezaron a la edad de 39 años, y que se manifestaron intermitentemente hasta su muerte (acaecida en 1918 a los 73 años de vida).

      Faltaríamos a la verdad históricà si no mencionáramos que Cantor tuvo partidarios, como Hilbert que defendió esta innovación matemática, aduciendo que, con la. Teoría de Conjuntos, Cantor había creado un paraíso para los matemáticos del que difícilmente serían expulsados.

1.1 Clases y conjuntos

      Efectivamente David Hilbert acertó en su profecía: la Teoría de comjunto tuvo paulatinamente nás aceptación entre los matemáticos. Y no sólo eso, sino que, veinte años después de la formulación de la citada paradoja, se dio con la solución satisfactoria.

      El error de Cantor fue no imponer ninguna restricción a la construcción de conjuntos. Evidentemente, sin hipótesis previas no se puede en absoluto coordinar los objetos que provienen de la percepción y del pensamiento. Y es precisamente eso lo que generaba paradojas y contradicciones en la Teoría de Conjuntos. En varias ocasiones, Cantor se limitó a decir que el concepto de conjunto era primario y, como tal, no podía ser delimitado. No obstante, su utilidad era manifiesta, porque permitía abordar con más rigor un gran número de pruebas en matemáticas (además de obtener numerosos resultados nuevos, pensemos por ejemplo en el hecho de que IR no es numerable), lo que compensaba la falta de consistencia de la teoría. Ahora bien, los detractores de la misma salían al paso contraatacando, pues, si es precisamente rigor lo que se pretende, seamos rigurosos en todo, incluso en los conceptos primarios.

      Después de varios intentos de formalizar esta teoría, como el de Bertrand Russell en su Principia Mathematica y el sistema de Zermelo- Fraenkel, debemos a John von Neumann la superación definitiva de la paradoja de Russell con la distinción entre clase y conjunto.

      Definición 1.1: Un concepto C se dirá que es una clase si permite decidir si un elemento pertenece o no a C.

      Un ejemplo de concepto que no sea clase es el de la Belleza. Efectivamente cada ser humano entiende más o menos lo que es la belleza; pero es prácticamente imposible delimitarla en sus justos términos. Los atributos de la misma no son los mismos en cada hombre. Incluso cada atributo (que podríamos considerarlo como elemento del concepto Belleza) no tiene el mismo valor en cada individuo, lo cual hace que este concepto no sea una clase, de acuerdo con la definición precedente. En cambio, el concepto de vivienda, como formada por sus inquilinos, sí es una clase.

      Pero una definición, como la anterior, está formada por conceptos más primitivos. Estos conceptos primarios empleados son el de “elemento” y el de “pertenencia”, cuyos significados serán tomados del lenguaje ordinario. Estos serán nuestras ideas primarias e intuitivas.

      Representaremos indistintamente por letras mayúsculas y minúsculas tanto clases como elementos. Y expresaremos que “a pertenece a x” por

      En este caso se tiene que entender que a es un elemento de (o que pertenece a) x.

      Con ello ya estamos en condiciones de delimitar el concepto de conjunto:

      Definición 1.2: Una clase A se dirá conjunto si existe otra clase C tal que A sea elemento de C, es decir,.

       Una clase se dice que es propia si no es conjunto.

      Está claro que no puede existir la clase de todas las clases propias, puesto que si existiese sus elementos no serían clases propias. Incluso tampoco puede existir la clase formada por clases propias y conjuntos, pues si uno de sus elementos fuera clase propia, ésta dejaría de serlo por ser elemento de otra clase. (Por eso las clases propias también son llamadas no- elementos). Esto hace que sólo tenga sentido hablar de clases de conjuntos. Con ello, la paradoja de Russell queda superada si aceptamos que R es clase propia, es decir, clase que no es conjunto.

      El lector atento se habrá percatado de que, si bien con la distinción entre clase y conjunto se ha solucionado la pardoja de Russell, esta misma distinción plantea nuevos y copiosos interrogantes, como es, por ejemplo, si la unión y la intersección (términos empleados en el sentido ordinario) de conjuntos son conjuntos, o que una parte de un conjunto es conjunto, etc.

      Para poder contestar satisfactoriamente estas cuestiones, necesitamos un cuerpo axiomático que, con ayuda de las inferencias, las leyes y constantes de la Lógica, permita desarrollar la Teoría de Conjuntos.

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