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2.3 klarmachen

      (2.24)

      (2.25)

      Wenn wir noch durch das für die Änderung benötigte Zeitintervall Δt dividieren, erhalten wir in der Grenze Δt → 0

      (2.26)

      Aus Abb. 2.3 ist unmittelbar ersichtlich, dass die Änderung von e_r in die Richtung e_φ weist und die Änderung von e_φ in die Richtung von −e_r. Damit erhalten wir endgültig

(2.27)

      Diese Ergebnisse können wir auch auf einem anderen Weg erhalten. Dazu zerlegen wir die Einheitsvektoren e_r und e_φ in ihre kartesischen Komponenten

(2.28)

(2.29)

Da die kartesischen Einheitsvektoren zeitlich invariant sind, wirkt die zeitliche Ableitung allein auf die cos φ- und sin φ-Faktoren. Wir erhalten somit wieder die Beziehungen (2.27), unter Verwendung von (2.28) und (2.29):

      (2.30)

      (2.31)

      Wir wollen jetzt die Komponenten der Geschwindigkeit und der Beschleunigung in ebenen Polarkoordinaten bestimmen. Ausgehend von der Darstellung des Ortsvektors in Polarkoordinaten

      (2.32)

erhalten wir für die Geschwindigkeit

(2.33)

      und damit die Komponenten

      (2.34)

Um die Darstellung der Beschleunigung in Polarkoordinaten zu erhalten, differenzieren wir (2.33) noch einmal nach der Zeit:

      (2.35)

      Mit den Ausdrücken (2.27) für ė_r und ė_φ erhalten wir dann

      (2.36)

      Damit lauten die Komponenten der Beschleunigung in ebenen Polarkoordinaten:

(2.37)

      Wir haben schon weiter oben bemerkt, dass sich Zylinderkoordinaten als eine kartesische Erweiterung der Polarkoordinaten auf den dreidimensionalen Raum auffassen lassen. Die hierbei eingeführte dritte Dimension führt dann zu den folgenden Ausdrücken für die Geschwindigkeit

      (2.38)

      und die Beschleunigung

      (2.39)

      in Zylinderkoordinaten.

      2.2.3 Kugelkoordinaten

Kugelkoordinaten oder sphärische Polarkoordinaten werden durch die Angabe des Abstandes r vom Koordinatenursprung zum Aufpunkt und zwei Winkelkoordinaten, dem Azimutalwinkel 𝜗 und dem Äquatorialwinkel φ, bestimmt. Diesen Koordinaten entsprechen die drei Einheitsvektoren e_r, e_θ und e_φ, siehe Abb. 2.4. Der Ortsvektor in Kugelkoordinaten ist gegeben durch

      (2.40)

      Zwischen den Einheitsvektoren des sphärischen Koordinatensystems und den kartesischen Einheitsvektoren bestehen die folgenden Zusammenhänge:

      (2.41)

      (2.42)

      (2.43)

Abb. 2.4 Einheitsvektoren in Kugelkoordinaten.

Für die zeitliche Änderung der Einheitsvektoren erhalten wir nach einigen algebraischen Umformungen

      (2.44)

      (2.45)

      (2.46)

      Mit diesen Gleichungen können wir jetzt die Geschwindigkeit eines Massenpunktes in Kugelkoordinaten berechnen. Wir bekommen

      (2.47)

      (2.48)

      sodass die Komponenten der Geschwindigkeit durch

      (2.49)

      gegeben sind. Für den Betrag der Geschwindigkeit erhalten wir

      (2.50)

      Nochmalige Differentiation

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