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      Esta fórmula es el logit multinomial. Note que para n ≥ 3, las probabilidades de elección están dadas por el logit multinomial si y solo si εi son de valor extremo tipo-1, siempre y cuando εi estén i.i.d y la función de distribución acumulativa sea estrictamente creciente en R.^[22]

      Una justificación axiomática para el supuesto distribucional en el logit multinomial puede obtenerse de la siguiente manera. Denote mediante A el conjunto de elección y mediante Ak el conjunto de elección expandido donde cada alternativa contiene k veces el número de unidades de A. Entonces, bajo el supuesto de que están i.i.d para k = 1, 2… (donde es la variable aleatoria asociada al producto i en el conjunto Ak) y la función de distribución acumulativa es estrictamente creciente en R, entonces las probabilidades de elección son invariables para cualquier expansión del conjunto de elección, esto es Qi (A) = Qi (Ak) si y solo si son de valor extremo tipo-1.

      Una justificación adicional del modelo logit multinomial se basa en dos axiomas: (i) la independencia de las alternativas irrelevantes (esto es, eliminar una alternativa estrictamente dominante del conjunto de elección no afecta las probabilidades de elección) y (ii) la independencia de la trayectoria (esto es, si las elecciones se secuencian escogiendo primero subconjuntos y luego escogiendo dentro de estos subconjuntos, esa secuenciación no afecta las probabilidades de elección). En un modelo probabilístico de elección, estos axiomas se satisfacen si y solo si las probabilidades de elección, y por lo tanto la demanda, son iguales a las del logit multinomial.^[23]

5.4.2 Análisis empírico de la diferenciación horizontal de productos

      Para estimar empíricamente modelos de diferenciación de productos (donde se supone que las características de los productos están dadas), profundizamos en el modelo logit de la demanda anteriormente trabajado para acercarlo a los datos. Supongamos que los consumidores pueden escoger entre n productos en el mercado y un bien exterior con utilidad normalizada a cero.^[24] Por simplicidad fijemos μ = 1. Podemos escribir las participaciones de mercado como

      Todos los consumidores tienen el mismo nivel de utilidad media vi y suponemos que este nivel de utilidad media toma la forma

      donde xi es el vector de las características observadas del producto y β el vector correspondiente de parámetros. La variable ξi contiene la influencia de todas las características inobservadas y puede interpretarse como la utilidad media derivada de las características inobservadas. Finalmente, γ es el parámetro asociado con el precio. Entonces

      En esta ecuación transformada de la participación de mercado, las participaciones de mercado son lineales en las características inobservadas del producto. Si consideramos a ξi como un término de error, podemos estimar los parámetros de demanda (β, γ) a partir de este modelo estructural (utilizando las variables instrumentales apropiadas para controlar por la correlación entre las características inobservadas del producto y los precios).

      Hasta ahora solamente hemos considerado el lado de la demanda. En cuanto al lado de la oferta, supongamos que las empresas fijan precios según la predicción de un equilibrio de Nash en precios. Note que los precios de equilibrios responden a los costos y los costos no son observables directamente. Sin embargo, los costos se ven afectados por las características del producto, parte de las cuales podemos observar. Denotemos mediante wJ el vector de características observables relevantes del producto del lado de los costos. Luego, supongamos que el costo marginal constante de producción tiene la forma ci = κwi + ωi, donde wi es el costo medio que se obtiene de las características no observables y k es el vector de parámetros asociados con las características observables. Los beneficios de la empresa i son πi = (pi – ci) M αi. Suponiendo que existe un precio de equilibrio y que está determinado exclusivamente por la condición de primer orden, obtenemos como ecuación relevante del precio,

      Que puede reescribirse como

      En el modelo logit, de modo que la ecuación de precios se convierte en

      donde deben estimarse los parámetros κ y γ. Si consideramos a wi como un término de error, podemos estimar conjuntamente las ecuaciones (5.2) y (5.3).

      Aunque el modelo logit sirve adecuadamente como un primer modelo para analizar una industria de productos diferenciados, los supuestos subyacentes y las propiedades implícitas lo hacen inadecuado para muchas implementaciones empíricas.^[25] Note que las elasticidades de precio propias y cruzadas del

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