Энциклопедия финансового риск-менеджмента - Алексей Лобанов

Скачать книгу

1.54. Инвестор считает, что реализуемая доходность его портфеля облигаций за 6 месяцев имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 7 % и стандартным отклонением 4 %.

      Вероятность того, что реализуемая доходность окажется:

      4. Если случайная величина ξ распределена нормально с параметрами (a, S), то случайная величина

      распределена нормально с параметрами (0, 1), т. е. имеет стандартное нормальное распределение.

      Пример 1.55. Менеджер считает, что стоимость управляемого им портфеля облигаций распределена нормально с математическим ожиданием 10 млн долл. и стандартным отклонением 2 млн долл. Его интересует, какова вероятность, что стоимость портфеля окажется между 6 млн и 11 млн долл.

      В данном случае

      Пример 1.56. Предположим, что в условиях примера 1.55 менеджер хочет найти доверительный интервал для стоимости управляемого им портфеля с надежностью 95 %. Иными словами, требуется найти интервал

      Тогда Ф(z) = 0,025. С помощью табл. 1.1 найдем значение z = 1,96. Значит, y = z · S = 1,96 · 2 млн долл. = 3,92 млн долл.

      Искомый доверительный интервал: (6,08 млн долл.; 13,92 млн долл.).

      1.22.4. Логарифмически нормальное (логнормальное) распределение

      Говорят, что положительная случайная величина ξ распределена логнормально (lognormal distribution), если ln ξ имеет нормальное распределение вероятностей. Таким образом, плотность логнормального распределения имеет вид:

      График плотности логнормального распределения приведен на рис. 1.25.

Свойства логнормального распределения

      1. Логнормальное распределение обладает правосторонней асимметрией (positively skewed), а при малых значениях S = σ(lnξ) близко к нормальному распределению.

      2. Если случайная величина ξ имеет логнормальное распределение с параметрами а и S, то

      Пример 1.57. Будем считать, что доходность 10-летних облигаций с нулевыми купонами имеет логнормальное распределение с параметрами a = -2,70; S = 0,30.

      3. Если две случайные величины распределены логнормально, то их произведение также имеет логнормальное распределение.

      1.22.5. Распределение х2 (хи-квадрат)

      Говорят, что случайная величина z имеет распределение х2 (chi-squared distribution) с n степенями свободы, если она представима в виде суммы n квадратов взаимно независимых величин со стандартными нормальными распределениями.

Свойства распределения X2

      Пример 1.58. Даны 10 дневных наблюдений доходности 30-летних казначейских облигаций с нулевым купоном:

      Если допустить, что доходность распределена нормально, то оценки математического ожидания и дисперсии доходности можно найти следующим образом:

Скачать книгу