Логика для всех. От пиратов до мудрецов - Инесса Раскина Школьные математические кружки

Скачать книгу

для высказываний каждого из 4 пиратов.

      Ответ: Высказыванию Арчи соответствует четвертая строка, Бена – вторая, Вилли – третья, Глена – первая.

      Задача 4.2. Какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны?

      1) Утка умеет плавать и летать.

      2) Курица умеет плавать и летать.

      3) Камбала умеет плавать и летать.

      Решение: 1) Высказывание истинно, так как составлено с помощью союза «и» из двух истинных высказываний: «Утка умеет плавать» и «Утка умеет летать». Оно соответствует первой строке таблицы истинности.

      2) Высказывание ложно, так как составлено с помощью союза «и» из двух ложных высказываний: «Курица умеет плавать» и «Курица умеет летать». Оно соответствует четвертой строке таблицы истинности.

      3) Высказывание ложно, так как составлено с помощью союза «и» из истинного высказывания «Камбала умеет плавать» и ложного «Камбала умеет летать». Оно соответствует второй строке таблицы истинности.

      Комментарий. Изобразим ситуацию с помощью кругов Эйлера (см. рис. 5). Поместим в первый круг умеющих плавать, во второй – умеющих летать. Высказывание «…умеет плавать и летать» истинно для существ, находящихся в пересечении кругов, и ложно для всех остальных.

      Рис. 5

      Но не стоит покидать пиратов надолго. Пора вернуться на остров и посмотреть, чем они заняты. Клад пока не найден. Трое продолжают копать. И только самый сильный из них, Арчи, задумчиво сидит под пальмой. Он копал гораздо быстрее остальных и уже успел убедиться в своей ошибке. Теперь он знает, что высказывание «Клад находится в 30 футах к востоку и в 120 футах к северу от пальмы» ложно. Это означает, что ложно хотя бы одно из двух составляющих его простых высказываний. То есть клад находится от пальмы не в 30 футах к востоку или не в 120 футах к северу.

      Замечание 1. Если говорить точнее, то клад находится от пальмы либо не в 30 футах к востоку, либо не в 120 футах к северу, либо и не в 30 футах к востоку, и не в 120 футах к северу. Звучит длинно и малопонятно. Для удобство математики договорились вместо «Либо А, либо Б, либо то и другое вместе» говорить короче: «А или Б». При этом подразумевается, что случай «А и Б оба выполняются» тоже возможен.

      Таким образом, высказывание «А или Б»:

      • истинно, если истинно хотя бы одно из составляющих его простых высказывания;

      • ложно, если ложны оба составляющих его простых высказывания.

      Составим для высказывания «А или Б» таблицу истинности:

      Замечание 2. На самом деле значение союза «или» не всегда одинаково. Например, высказывание «Каждый сотрудник отеля владеет английским или русским языком» вполне допускает, что кто-то из сотрудников владеет обоими языками, что согласуется с таблицей истинности союза «или». А высказывание «Анкета заполняется на английском или русском языке» предполагает использование одного из двух языков, но не обоих сразу. Чтобы не путаться, при перечислении исключающих друг друга случаев договоримся вместо союза «или» использовать его синоним

Скачать книгу