Основы квантовых вычислений и базовые состояния кубитов. Формула - ИВВ

Скачать книгу

= X * |ψ⟩

      = [[0, 1],

      [1, 0]] * [0, 1]

      = [1, 0]

      После вращения вокруг оси X на 90 градусов, состояние кубита изменяется с |1⟩ на |0⟩.

      Пример 2:

      Допустим, у нас есть кубитное состояние |ψ⟩ = [0.6, 0.8], то есть, кубит находится в суперпозиции состояний |0⟩ и |1⟩ с коэффициентами 0.6 и 0.8 соответственно. Мы хотим применить вращение вокруг оси X с углом π/3 (60 градусов).

      Сначала вычислим матрицу поворота Яванского R_x (π/3):

      R_x (π/3) = [[cos (π/6), -i*sin (π/6)],

      [-i*sin (π/6), cos (π/6)]]

      = [[√3/2, -i/2],

      [-i/2, √3/2]]

      Умножим матрицу поворота на состояние |ψ⟩:

      |ψ»⟩ = R_x (π/3) * |ψ⟩

      = [[√3/2, -i/2],

      [-i/2, √3/2]] * [0.6, 0.8]

      = [√3/2 * 0.6 – i/2 * 0.8, -i/2 * 0.6 + √3/2 * 0.8]

      = [0.3√3 – 0.4i, -0.3i +0.4√3]

      После вращения вокруг оси X на угол π/3, состояние кубита изменяется на [0.3√3 – 0.4i, -0.3i +0.4√3].

      Создание и вращение матрицы Pauli Y

      Описание матрицы Pauli Y

      Матрица Pauli Y (Y-матрица) является одной из трех базисных матриц Паули и представляет операцию вращения вокруг оси Y. Она обычно обозначается как $\sigma_y$ или $Y$.

      Матрица Pauli Y имеет следующий вид:

      $Y = \begin {bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end {bmatrix} $

      Она является комплексно-сопряженной матрицей Pauli X (X-матрицы). Это значит, что элементы матрицы Y получаются путем взятия комплексного сопряжения элементов матрицы X.

      Матрица Pauli Y представляет операцию вращения вокруг оси Y на угол π (180 градусов). В квантовой механике, вращение на угол π вокруг оси Y обратит состояние кубита. Например, если у нас есть кубитное состояние |0⟩, после применения матрицы Pauli Y мы получим состояние |1⟩.

      Вместе с X- и Z-матрицами, матрица Y используется для описания любых однокубитных вращений вокруг произвольной оси в трехмерном пространстве. Например, вращение вокруг оси, направленной вдоль вектора единичной длины \ (\hat {n} = \sin (\theta) \cos (\phi) \hat {i} + \sin (\theta) \sin (\phi) \hat {j} + \cos (\theta) \hat {k} \), на угол α может быть представлено как:

      \ (R (\theta,\phi,\alpha) = \cos\left (\frac {\alpha} {2} \right) I – i \sin\left (\frac {\alpha} {2} \right) (\cos (\theta) X + \sin (\theta) \cos (\phi) Y + \sin (\theta) \sin (\phi) Z) \),

      где I является единичной матрицей, а X, Y и Z – матрицами Паули.

      Изменение матрицы Y вращением вокруг оси Y

      Матрица Pauli Y описывает вращение вокруг оси Y на угол π (180 градусов). Вращение вокруг оси Y может быть представлено с помощью матрицы поворота Яванского R_y (π).

      Матрица поворота Яванского для вращения вокруг оси Y с углом θ имеет следующий вид:

      R_y (θ) = [[cos (θ/2), -sin (θ/2)],

      [sin (θ/2), cos (θ/2)]]

      В нашем случае, для вращения на угол π вокруг оси Y, подставляем θ = π:

      R_y (π) = [[cos (π/2), -sin (π/2)],

      [sin (π/2), cos (π/2)]]

      = [[0, -1],

      [1, 0]]

      Матрица Pauli Y представляет вращение вокруг оси Y на угол π и имеет вид:

      Y = [[0, -i],

      [i, 0]]

      Чтобы изменить матрицу Pauli Y для вращения на произвольный угол вокруг оси Y, можно воспользоваться формулой Эйлера для квантовых гейтов поворота.

      Например, для вращения вокруг оси Y на угол α, мы можем использовать следующую операцию поворота:

      R_y (α) = exp (-iαY/2)

      где exp (x) – это экспонента. Подставив матрицу Pauli Y, получаем:

      R_y

Скачать книгу