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      Nos preguntamos ahora qué tan extensa puede ser la clase de las funciones integrables en el sentido de Riemann. Sabemos que contiene a las funciones continuas salvo en un número finito de puntos, pero, ¿qué tanto más podemos relajar la condición de continuidad? Este problema fue planteado y resuelto por Du Bois-Reymond en 1882.

      DEFINICIÓN 1.3. Un subconjunto N de la recta real se dice de extensión nula (más tarde diremos de medida nula) si para cada > 0 existe una colección finita de intervalos cuyo largo total (calculado como la suma de las longitudes respectivas) sea menor que e y su reunión cubre a N.

      TEOREMA 1.2. Sea f una función con valores reales definida en un intervalo [a, b] de y acotada. Ella es integrable en el sentido de Riemann sobre [a, b] si y sólo si su conjunto de discontinuidades D_f es de extensión nula.

      Demostración. Designemos por ω(f, E) la oscilación de f sobre un subconjunto E de [a, b] dada por la expresión

      Observar que ω(f, E) ≤ ω(f, E′) si E ⊂ E′. Así, la oscilación de f en un punto x [a, b] es

      Claramente f es continua en x si y sólo si ω(f, x) = 0. Entonces D_f se escribe en la forma

      Comenzaremos por probar que f es integrable sobre [a, b] si y sólo si para cada p ≥ 1 el conjunto E_p = {x [a, b] : ω(f, x) > 1/p} es de extensión nula.

      Supongamos f R([a, b]). Sea (π(n))_n una sucesión de particiones de [a, b], π(n) : . Examinemos (1.24). Dado p > 1, E_p queda contenido en los intervalos de la partición π(n) en los cuales la oscilación es mayor que 1/p. Llamemos l_n(p) la suma de las longitudes de dichos intervalos. Se tiene entonces

      y la integrabilidad de f determina la convergencia a 0 de las sumas de (1.38) si n → ∞, de donde, para cada p fijo, l_n(p) → 0. Esta última propiedad nos dice que E_p es de extensión nula para cada p ≥ 1.

      Recíprocamente, supongamos E_p de extensión nula para cada p > 1. Entonces, dado > 0 existe una colección finita de intervalos que cubren E_p y cuya suma de longitudes es menor que . Dada una partición cualquiera π de [a, b], designemos por I₁,..., I_k los subintervalos disjuntos de [a, b] que ella determina. Refinemos π de la siguiente manera: llamemos π ^{la partición definida por las extremidades de los intervalos que resultan al considerarlos de la forma I y las intersecciones de aquellos con los de la forma J. De esa manera, la partición π contiene intervalos de extremidades y ,} entre los cuales hay algunos contenidos en los de la forma J^{. Sea N₀() el subconjunto de índices j N() para los cuales existe algún m de modo que . Así tenemos:}

      Pero, para cada j N\N₀(), se tiene M_j–m_j < 1/p; para j N₀(), En consecuencia, se obtiene:

      La desigualdad (1.39) y (1.24) nos permiten concluir, ya que y p pueden ser escogidos arbitrariamente.

      Por último, para probar que D_f es de extensión nula si y sólo si cada E_p lo es, se deja al lector el ejercicio de verificar las dos aserciones siguientes:

       Todo subconjunto de un conjunto de extensión nula es de extensión nula;

       Toda reunión numerable de conjuntos de extensión nula es de extensión nula.

4. La integral de funciones con valores complejos

      La integral de Riemann admite una extensión inmediata al caso de funciones complejas. Si f es una función definida en un intervalo [a, b] de , con valores complejos, le asociamos dos funciones reales: su parte real y su parte imaginaria , que permiten representarla

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