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potenzielle Energie null, wobei L die Länge des Kastens ist. Außerhalb des Kastens, d. h. für x < 0 und für x > L, wird angenommen, dass die potenzielle Energie unendlich ist. Sobald sich das Elektron in der Box befindet, hat es keine Chance zu entkommen, und man weiß mit Sicherheit, dass sich das Elektron in dem Kasten befindet.

      Wie bereits erwähnt, wird die Gesamtenergie als die Summe der kinetischen und potenziellen Energie T und V geschrieben:

      (2.17)

      Nach wie vor wird die kinetische Energie des Teilchens als

      (2.3)

      angegeben, wobei m die Masse des Elektrons ist. Ersetzt man den klassischen Impuls in (1.14) durch den quantenmechanischen Impulsoperator,

      (2.2)

      kann der kinetische Energieoperator als

      (2.4)

geschrieben werden. Die potenzielle Energie in der Box ist null; somit ist die Gesamtenergie des Teilchens innerhalb des Kastens

      (2.18)

      Da die potenzielle Energie außerhalb des Kastens unendlich hoch ist, kann sich das Elektron dort nicht befinden, und die Diskussion wird sich fortan mit dem Inneren des Kastens befassen. Somit kann man den gesamten Hamilton-Operator des Systems als

(2.19)

      angeben. Im Format der linearen Algebra wird dieses Operator-Eigenvektor-Eigenwert-Problem als

(2.20)

geschrieben. Gleichung (2.20) weist an, den Hamilton-Operator (2.19) auf noch unbekannte Eigenfunktionen anzusetzen, um die gewünschten Energieeigenwerte zu erhalten. Die Eigenfunktionen bilden typischerweise einen n-dimensionalen Vektorraum, in dem die Eigenwerte auf der Diagonale erscheinen. Somit bedeutet (2.20):

(2.21)

Das heißt, dass der Hamilton-Operator, angesetzt auf die Eigenfunktionen, die Energieeigenwerte usw. liefert. Dies wird durch Matrixmultiplikation in (2.21) erhalten.

       Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Teilchen im Kasten

      Gleichung (2.19) als kann wie folgt umgeschrieben werden:

      (2.22)

      Dies ist eine einfache Differenzialgleichung für die Eigenfunktionen ψ(x)

(2.23)

Um (2.23) zu erfüllen, muss die zweite Ableitung der Funktion der ursprünglichen Funktion gleichen, multipliziert mit einer Konstanten. Zum Beispiel könnte die Funktion

(2.24)

eine Lösung der Differenzialgleichung (2.23) sein, da

      (2.25)

      Hier wäre und A ist ein noch nicht definierter Amplitudenfaktor.

(2.26)

könnte ebenfalls eine Lösung von (2.23) sein sowie eine Summe von (2.24) und (2.26). Aus Gründen, die in Kürze offensichtlich werden,wird (2.26) als Testfunktion zur Erfüllung von (2.23) eingesetzt:

(2.27)

      Man erhält damit

      (2.28)

      An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass die Lösungen einer Differenzialgleichung in hohem Maße von den Randbedingungen abhängen: Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung kann die physikalische Realität des Systems beschreiben oder auch nicht, und es sind die Randbedingungen, die die Lösungen physikalisch sinnvoll machen. Im Falle des TiK werden die Randbedingungen durch eines der Postulate der Quantenmechanik bestimmt, das voraussetzt, dass die Wellenfunktionen stetig sind. Wenn die Wellenfunktion außerhalb des Kastens null ist (da die potenzielle Energie außerhalb des Kastens unendlich hoch ist und daher die Wahrscheinlichkeit null ist, das Teilchen außerhalb des Kastens zu finden), muss die Wellenfunktion innerhalb des Kastens auch an den Grenzen des Kastens null sein. Somit kann man die Randbedingungen für die TiK-Differenzialgleichung als

      (2.29)

      schreiben. Aufgrund dieser Bedingungen wurde die Kosinusfunktion verworfen,die als mögliche Lösungen von (2.23) vorgeschlagen wurde, da die Kosinusfunktion bei x = 0 ungleich null ist. Aufgrund der erforderlichen Kontinuität bei x = L muss der Wert der Funktion

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