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      Abb. 2.1 Potenzielle Energiefunktionen für (a) Molekülschwingungen und (b) für ein Elektron im elektrostatischen Feld eines Atomkerns. f ist die Kraftkonstante, k die Coulomb’sche Konstante und e die elektronische Ladung.

ersetzt. Die potenzielle Energie V wurde jedoch unverändert belassen, da sie nicht von dem Impuls eines sich bewegenden Teilchens abhängt. Die potenzielle Energie hängt jedoch von den speziellen Wechselwirkungen ab, die das Problem beschreiben, beispielsweise der potenziellen Energie, die ein Elektron im Feld eines Kerns erfährt, oder der potenziellen Energie, die durch eine chemische Bindung zwischen zwei schwingenden Kernen ausgeübt wird. Die Form dieser Potenzialenergiekurven ist in Abb. 2.1 zusammen mit den Potenzialenergiegleichungen dargestellt.

      Wenn die Gleichungen für die potenzielle Energie in die Schrödinger-Gleichung

      (2.7)

      eingesetzt werden, erhält man eine Differenzialgleichung

(2.15)

      die für die harmonische Schwingung eines zweiatomigen Moleküls gilt, und

(2.16)

für das Elektron in einem Wasserstoffatom. In (2.15) und (2.16) sind f und k Konstanten, die später eingeführt werden, und ,,e“ ist die elektronische Ladung, e = 1,602 · 10⁻¹⁹ C. Gleichung (2.16) ist nicht exakt korrekt, da die potenzielle Energie eines Elektrons im Feld eines Kerns eine sphärische Funktion ist, die aber in (2.16) und in Abb. 2.1 als eindimensionale Größe dargestellt wird. Außerdem muss die Masse im Nenner des Operators für die kinetische Energie durch die reduzierte Masse ersetzt werden, die später eingeführt wird.

      Aufgrund der Schwierigkeiten beim Lösen von Gleichungen wie (2.15) und (2.16) wird für das erste Beispiel eines quantenmechanischen Systems eine viel einfachere potenzielle Energiefunktion verwendet, was zu dem bekannten ,,Teilchen-im-Kasten“-Modell führt. Hier wird die Potenzialfunktion einfach durch einen rechteckigen Kasten angenähert. Das Teilchen im Kasten (TiK) ist ein künstliches Beispiel, aber es ist pädagogisch äußerst nützlich und bietet einfache Differenzialgleichungen sowie reale physikalische Anwendungen, siehe Abschn. 2.5.

2.3 Demonstration der quantenmechanischen Prinzipien für ein einfaches, eindimensionales Ein-Elektronen-Modellsystem: Das Teilchen im Kasten

      Wirkliche quantenmechanische Systeme neigen dazu, mathematisch ziemlich kompliziert zu sein, aufgrund der Komplexität der im vorherigen Abschnitt erwähnten Differenzialgleichungen. Daher wird hier ein einfaches Modellsystem vorgestellt, um die in den Abschn. 2.1 und 2.2 aufgeführten Prinzipien der Quantenmechanik zu veranschaulichen. Dieses Modellsystem ist das sogenannte Teilchen im Kasten (im Folgenden als ,,TiK“ bezeichnet), bei dem der Ausdruck für die potenzielle Energie sehr vereinfacht ist, das aber trotzdem weitreichende Analogien zu wirklichen Systemen aufweist. Dieses Modell ist sehr lehrreich, da es detailliert zeigt, wie der quantenmechanische Formalismus in einer Situation funktioniert, die ausreichend einfach ist, um die Berechnungen schrittweise durchzuführen. Gleichzeitig liefert es Ergebnisse, die den Ergebnissen eines wirklichen Systems sehr ähnlich sind. Dies wird später durch den Vergleich der Symmetrie (Parität) der TiK-Wellenfunktionen mit denen des harmonischen Oszillators (Kap. 4) veranschaulicht.

       Definition des Modellsystems

      Das TiK-Modell geht davon aus, dass ein Teilchen, beispielsweise ein Elektron, in ein potenzielles Energiefeld eingebracht wird, das aus zwei unendlich hohen Wänden gebildet wird (siehe Abb. 2.2). Diese Begrenzung (der „Kasten“)

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