Скачать книгу

С состоят из одних и тех же элементов и поэтому они равны, т. е. АВ = АС.

      1.22. Доказать, что операция разности множеств не ассоциативна, т. е.

      (А\В)\СА\(В\С).

      Преобразуем левую часть неравенства:

      (А\В)\С = (АВС)\С = (АВС) ∩ СС = АВС ∩ СС.

      Преобразуем правую часть:

      А\(В\С) = А\(ВСС) = А ∩ (ВСС)С = А ∩ (ВС ∪ С) = = (АВС) ∪ (АС) = (АВС) ∩ (ССС) ∪ (АС) ∩ (ВВС) =

      = (АВС ∩ С) ∪ (АВС ∩ СС) ∪ (АВС) ∪ (АВС ∩ С)

      = (АВС ∩ С) ∪ (АВС ∩ СС) ∪ (АВС).

      Множество левой части не совпадает с множеством правой части, и это доказывает, что операция разности множеств не ассоциативна.

      1.23. Доказать, используя элементный метод, что если А, В и С подмножества универсального множества U и если АВ, то ВС ⊆ АС.

      Пусть А, В и С подмножество универсального множества U. Рассмотрим любой элемент хВС. По определению дополнения ВС ∩ В = Ø, поэтому если х является элементом ВС, то он не может быть элементом В, т. е. хВ. Элемент х также не может принадлежать и множеству А, поскольку АВ, т. е. хА, но тогда хАС. Таким образом, показано, что для любого элемента х из множества ВС этот элемент принадлежит и множеству АС, т. е. ВС ⊆ АС.

      1.24. Доказать, используя элементный метод, что если АВ, то

      (a) АСВС,

      (b) АСВС.

      (a) Пусть хАС. Тогда хА и хС и поскольку АВ, то хВ. Из того, что х принадлежит и В и С, следует, что он принадлежит их пересечению хВС. Это означает, что для любого х, входящего в множество АС, элемент х входит и в множество ВС, т. е. АСВС.

      (b) Поскольку АВ, то ВС ⊆ АС (задача 1.23). Тогда для любого множества СС его пересечение с ВС будет включаться в его пересечением с АС (потому что нет ни одного элемента ВС, входящего в пересечение ВС ∩ СС и не являющегося элементам АС, но ВС ∩ СС могут быть элементы из АС, не являющиеся элементами ВС), т. е. ВС ∩ СС ⊆ АС ∩ СС. Затем, снова применяя результат задачи 1.23, получим, что (АС ∩ СС)С ⊆ (ВС ∩ СС)С. По закону де Моргана получим АСВС, что и доказывает искомый результат.

      1.25. Дано множество А = {1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}. Какие из приведенных ниже семейств множеств являются разбиениями:

      (a) {{1, 2, 3}, {2, 4, 5}, {6, 9}, {7, 8}},

      (b) {{1, 3, 5}, { 7, 6}, {2, 4, 8, 9}},

      (c) {{1, 2}, {3, 5, 6, 7}, {4, 8, 9}, {1, 2}},

      (d) {{1, 2}, {3, 4, 5}, {7, 8}, {9}}.

      (a) Не разбиение, потому что элемент 2 входит в {1, 2, 3} и {2, 4, 5}.

      (b) Разбиение, потому что каждый элемент А принадлежит точно одному блоку.

      (c) Разбиение, потому что можно игнорировать факт, что {1, 2} встречается дважды.

      (d) Не разбиение, потому что нет элемента 6.

      1.26. Пусть А и В непересекающиеся множества. Обозначим через Sa разбиение множества А, а через Sb – разбиение множества В. Доказать, что SaSb является разбиением множества АВ.

      Конец ознакомительного фрагмента.

      Текст предоставлен

Скачать книгу