Скачать книгу

A ⊆ {1, 2,{1, 4}}, поскольку все элементы А являются элементами {1, 2,{1, 4}}

      (h) {3} ∉ B, потому что 3 является элементом В, а {3} – нет.

      1.4. Показать, что A = {2, 3, 4, 5} не является подмножеством В = {x: xN и х – простое число}.

      Для доказательства необходимо показать, что в А есть по крайней мере один элемент, которого нет в В. Рассмотрим элемент 4 ∈ А, и поскольку 4 разлагается на произведение 4 = 2 * 2, то оно не является простым и поэтому не принадлежит множеству В.

      1.5. Показать, что множество А = {a, d, c, d} является собственным подмножеством B = {a, b, c, d, f, g}.

      Поскольку каждый элемент А принадлежит В, то АВ. Но в В есть элемент fA, поэтому АВ и, следовательно, А является собственным подмножеством В, т. е. АВ.

      1.6. Для множества А = {4, 6, 8, 10} найти его несобственное подмножество.

      Несобственное подмножество А должно состоять из тех же самых элементов, что и само множество А, т. е. это множество {4, 6, 8, 10}.

      Операции над множествами

      1.7. Найти все пересечения и объединения следующих множеств:

      A = (1, 2, 3, 4, 6}, B = {3, 4, 5, 7 }, C = {6, 7, 8}.

      Пересечение множеств А и В состоит только из тех элементов, которые входят и в А и в В, а объединение – из тех элементов, которые входят в А, входят в В, а также тех, которые являются общими для них, т. е. входят в их пересечение:

      АВ = {3, 4} АC = {6} BC = {7} АВC = Ø,

      AB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} AC = {1, 2, 3, 4, 6, 8} B ∪ C ={3, 4, 7, 8},

      ABC = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

      1.8. Даны пересечения и объединения множеств А, В и С.

      АВ = {4} АC = {5} BC = {7}

      AB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} AC = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9} BC = {4, 5, 6, 7, 8, 9}.

      Найти множества A, B, C.

      Нетрудно видеть, что АВC = Ø, потому что нет ни одного элемента, общего для всех трех пересечений АВ, АC и BC. Найдем элементы множества А. Ясно, что А содержит элементы 4 и 5, поскольку они входят в пересечение А с В и А с C. Рассмотрим пересечение множеств AB и AC, оно состоит из элементов {1, 2, 3, 4, 5, 7} и включает в себя все элементы множества А и все элементы пересечения BC = {7}. Убрав элемент 7, мы и получим множество А = {1, 2, 3, 4, 5}.

      Такое же рассуждение позволяет найти и множество В. Сначала найдем пересечение двух объединений AB и BC. Это будет множество {4, 5, 6, 7}. Затем удалим из него пересечение АC = {5}, которое не входит в В, и получим множество B ={4, 5, 6}.

      Чтобы найти элементы С, найдем пересечение AC и BC, которое состоит из элементов {4, 5, 7, 8, 9}, и удалим из него пересечение АВ = { 4}. Элемент 4 не может входить в С, поскольку он входит и в А, и в В. Если бы он входил и в С, то тогда пересечение АВC состояло бы из элемента 4, но оно пусто. Поэтому C = {5, 7, 8, 9}.

      Найти множества А, В, С можно и при помощи других рассуждений. Например, найдем множество А. Для этого удалим из множества AB все элементы множества BC и получим множество {1, 2, 3}. Оно состоит из элементов множества А и не содержит тех элементов А, которые входят в пересечение А с В и А с С. Добавив эти элементы, мы и получим множество А = {1, 2, 3, 4, 5}.

      1.9. Дано универсальное множество U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и множества

      A = { 1, 2, 3, 4} B = {3, 4, 5, 6, 7} C = {4, 6, 7, 8, 9}.

      Найти:

      (a)

Скачать книгу