LITMIR.BIZ

Скачать книгу

t₀ отметить соответствующий ему момент t_вн0 , а по завершении временного интервала t_x отметить момент t_внx. Тогда искомая длительность будет исчисляться как

      

      В этом случае временной интервал будет описывать тот же самый процесс, но уже относительно внешнего, общеупотребительного, счета времени.

      В целом полученное выше выражение, во-первых, определяет физическое время через известные величины, во-вторых, позволяет понять природу времени, исходя из характеристик самого движения, и, в-третьих, дает возможность сделать некоторые выводы относительно свойств той физической реальности, в которой происходит движение.

      Остается неясным, может ли выражение, полученное в результате решения частной задачи динамики, претендовать на какую-либо степень всеобщности. Если время, которое определяется в полученном выражении, действительно то физическое время, о котором речь шла вначале, то и в любом другом случае решение динамических задач всегда должно приводить к аналогичному виду зависимости для времени. То есть ее вид должен быть всегда один и тот же, независимо от того, из какого конкретного случая она выводится.

      Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующую простую задачу динамики: определить период колебания материальной точки с постоянной массой m по прямой около положения равновесия под действием квазиупругой силы, считая, что в момент времени

точка имеет координату и скорость

      По второму закону Ньютона

      

      положив

получим:

      

      Это дифференциальное уравнение второго порядка, известное как уравнение свободных колебаний материальной точки, общее решение которого имеет вид:

      

      где x – смещение точки из положения равновесия;

      a – амплитуда колебания;

      ω – циклическая частота;

      φ – начальная фаза.

      В нашем случае

      Свободные колебания имеют характеристическое время (период), через которое все элементы движения повторяются:

      

      Для простоты картины будем рассматривать период в радианной мере.

      Обозначим

      Умножим и разделим выражение для Ŧ² на x², по-прежнему учитывая, что

      

      Так как и в этом случае сила действует вдоль направления движения, то

      

      где A – работа силы на пути x, равная изменению потенциальной энергии материальной точки.

      

      так как

      Заметим, что потенциальная энергия вкладывается в рассматриваемый процесс лишь в течение половины периода Ŧ. Чтобы учесть это, запишем

      

в виде

      в результате получим:

       Скачать книгу