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p₁ = p₂ = c es el único equilibrio de Nash del juego. Note, para referencia futura, que la funciones de reacción de los duopolistas son de pendiente (débilmente) creciente: cuando una empresa aumenta su precio, la mejor respuesta de la otra empresa también es aumentar su precio.^[4]

      Generalmente se considera que el resultado anterior es una paradoja, pues se trata de un mercado que solamente tiene dos empresas y de todos modos prevalece el resultado competitivo. Esto nos muestra que, bajo algunas circunstancias, la presión competitiva bajo duopolio puede ser lo suficientemente fuerte como para dar lugar a una fijación de precios basada en los costos marginales.

      Lección 3.1 En el duopolio de Bertrand de productos homogéneos con costos marginales constantes e idénticos, el equilibrio es tal que las empresas fijan precios iguales a los costos marginales y, por lo tanto, carecen de poder de mercado.

      La intuición que subyace a este resultado es clara: las empresas no pueden mantener precios por encima de los costos marginales, porque pequeñas rebajas en los precios pueden llevar a grandes incrementos en las cantidades demandadas y en los beneficios.^[5]

      Ahora introduzcamos asimetrías de costos en el modelo de Bertrand. En efecto, es posible que las empresas tengan acceso a diferentes tecnologías, lo que resultaría en distintos costos marginales de producción. Como lo describiremos en la Parte VII, esto es lo que por lo general ocurre cuando una empresa obtiene una patente para el uso exclusivo de una tecnología superior. En concreto, supongamos que hay n empresas en el mercado, ordenadas según sus costos marginales ci < ci _{+ 1}, i = 1, …, n − 1. Las empresas fijan los precios simultáneamente. Si dos empresas fijan el mismo precio, la empresa más eficiente obtiene toda la demanda. Entonces, cualquier precio p ∈ [c₁, c₂] es un equilibrio. Sin embargo, note que si existe una pequeña probabilidad de que la empresa menos eficiente obtenga una pequeña participación de mercado, la empresa 2 no fijaría un precio p < c₂. Por lo tanto, seleccionamos el equilibrio donde p = c₂ como el equilibrio más razonable.^[6] En el equilibrio seleccionado, la empresa 1 obtiene beneficios positivos, contrario a lo que ocurre en el modelo simétrico de competencia en precios pura. La empresa 1 se queda con las ganancias de eficiencia en comparación con la siguiente mejor alternativa tecnológica (esto es, la diferencia entre c₂ y c₁).^[7]

      Note que, en el equilibrio del juego de Bertrand con costos simétricos, ambas empresas utilizan estrategias débilmente dominadas: fijar un precio más alto no puede empeorar la situación de la empresa, pero, en un caso donde el competidor se desvía de su estrategia de equilibrio de Nash, tal desviación puede valer la pena. Si una empresa enfrenta un competidor con costos desconocidos, parece que la empresa ya no tiene un incentivo para igualar el precio a los costos marginales. A continuación, examinamos este escenario.

3.1.2 Competencia en precios con costos inciertos

      Supongamos que cada empresa tiene información privada sobre sus costos marginales. En particular, los costos marginales de cada empresa se obtienen de forma independiente de alguna distribución y las empresas conocen la realización de su propio parámetro de costos, pero no el de sus competidores. Al fijar sus precios, las empresas enfrentan un trade-off entre los márgenes y la probabilidad de ganar la competencia por el mejor trato que pueden ofrecerles a los consumidores. En este escenario, mostraremos que las empresas por lo general fijan el precio por encima de los costos marginales, de modos que obtienen beneficios positivos en equilibrio. El margen precio-costo es decreciente en los costos marginales. Este escenario parece ser un paso natural en el análisis de los modelos de competencia en precios. Da como resultado una situación en la que incluso en el contexto de competencia en precios con bienes homogéneos, todas las empresas en un mercado fijan precios por encima de los costos marginales. El análisis es bastante complejo y por lo tanto puede saltarse en la primera lectura.

      Analizamos este resultado en un contexto simple con una demanda de mercado lineal y una distribución uniforme de los costos marginales.^[8] Supongamos que n empresas enfrentan la función de demanda de mercado Q(p) = 1 – p y un costo marginal que se obtiene independientemente de la distribución uniforme en [0,1]. Denotemos mediante el precio más bajo cobrado por los competidores de la empresa Entonces la empresa i enfrenta la demanda qi = 1 – pi si si donde m es el número de empresas que fijan el precio más bajo pi, y qi = 0 si Resolvemos para el equilibrio de Nash Bayesiano simétrico de este juego, que está dado por una función p^*(⋅) que mapea los costos marginales respecto a los precios. Esta función tiene la propiedad de que p^*(1) = 1 porque la empresa con costos más altos siempre fijará el precio igual al costo marginal. Por esta razón, no obtenemos nociones adicionales al considerar una función de demanda de tipo a – p con a > 1. Buscamos una función de precios que sea estrictamente creciente en [0, 1] de modo que cada tipo de costo fije un precio diferente.^[9] Como una empresa recibe el mismo parámetro de costo que algunos de sus competidores con una probabilidad igual a cero (y los beneficios están limitados), podemos restringir nuestra atención a situaciones donde las empresas tienen parámetros de costo diferentes. Los beneficios esperados de la empresa i son

      porque una empresa de tipo ci vende el producto con probabilidad Prob Debido al supuesto de independencia, esta probabilidad es simplemente el producto de las probabilidades de fijar el precio más bajo en todas las comparaciones por pares con los competidores de la empresa: Prob Para una empresa tipo ci, tenemos pi = p^* (ci) en equilibrio. Por lo tanto, p^{* – 1} (pj) denota el costo marginal de un competidor que fija pj y sigue la estrategia de equilibrio. Dado de que p^* es estrictamente creciente, podemos escribir Prob (pi < p^* (cj)) = Prob (p^{* – 1} (pi) < cj) que, dado que cj está distribuido uniformemente en [0,1], es igual a 1 – p^*–1 (pi). En consecuencia, Prob y cada empresa resuelve el siguiente problema de maximización:

      La condición de primer orden de la maximización de beneficios es

      En un equilibrio simétrico, p^*(ci) = pi y, por lo tanto, ci = p^*–1 (pi). También notamos que la derivada de la función inversa de fijación de precios es la inversa de la derivada. Por lo tanto, podemos escribir la ecuación anterior como

      Dividiendo por [1 – ci]n^{– 2} y reordenando los términos obtenemos la ecuación diferencial

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