Manual de Física Estadística - Salvador Mafé Matoses Educació. Sèrie Materials

Скачать книгу

propietats estadístiques d'un sistema de N partícules, necessitem conèixer el conjunt de valors de l'energia ES(N), on ES(N) és l'energia de l'estat s del sistema de N partícules. En els capítols següents considerarem amb preferència les propietats d'aquells sistemes per als quals ES(N) es pot calcular exactament.

      Altres exemples [Benedek i Villars, cap. 4] per a ES(N) apareixen en les figs. 2-4, on hem omès l'efecte de la degeneració. Així, la fig. 2 mostra els nivells d'energia del e- en un àtom de H, En(1). Els estats lligats, corresponents a energies negatives, estan quantitzats. Per a En(1) > 0, el e- no està lligat, i l'espectre d'energies és continu.

images

      Figura 2

images

      Figura 3

images

      Figura 4

      Si es considera no un àtom, sinó la molècula de H2, els nivells d'energia (i per tant els estats de la molècula) són més complicats. De nou, la molècula posseeix diversos estats corresponents als nivells d'energia de cada electró. Però per a cada estat de l'electró, la molècula completa pot també vibrar i rotar. Les figs. 3 i 4 mostren que les energies d'excitació corresponents a la rotació Ej(2) i a la vibració images están també quantitzades. La línia discontínua representa Y energia tèrmica kT ≈ 4 x 10-21 J ≈ 30 meV per a T = 300 K, amb k = 1.38 x 10-23 J/K la constant de Boltzmann. En les figs. 3 i 4, els nivells d'energia per sobre del nivell fonamental corresponen als diversos estats excitats. La separació entre els nivells de vibració de la fig. 4 és d'uns 0.5 eV « 10 eV característics de la separació entre el nivell fonamental i el primer nivell excitat dels nivells electrònics (vegeu la fig. 2). Els nivells rotacionals (vegeu la fig 3) presenten separacions fins i tot menors (≈ 7 meV). Per consegüent, a temperatura ambient les molècules de H2 presenten només estats electrònics fonamentals. Aquest és també el cas dels estats vibracionals aproximadament (vegeu la fig. 4), però no el dels rotacionals, ja que kT > EJ=0,1,2(2) en la fig. 3.

      En molècules poliatòmiques apareixen nous estats o modes de vibració (vegeu la fig. 5). La molècula de H20, p. ex., pot repartir la seua energia de vibració simultàniament entre els tres modes de vibració de la fig. 5 (anomenats modes normals). L'energia corresponent a cada mode està quantitzada, i és additiva si l'excitació s'esdevé simultàniament en més d'un mode. L'energia vibracional de la molècula es pot escriure ara com images, on na, nb, nc prenent els valors 0, 1, 2, … (vegeu la fig. 6 [Benedek i Villars, cap. 4]), i defineixen l'estat quàntic vibracional del sistema de 3 àtoms que componen la molècula de la fig. 5.

images

      Figura 5

images

      Figura 6

      En tots els casos anteriors, el concepte d'estat quàntic, caracteritzat en cada cas pels seus nombres quàntics corresponents, permet una enumeració dels estats microscòpics per a un sistema de N partícules. Veurem en els capítols següents que aquesta enumeració és sempre el pas inicial de tot tractament en Física Estadística.

      Les matemàtiques requerides per a una introducció a la Física Estadística són elementals [Reif, caps. 1, 2, 6 i A. 1–11; de la Rubia i Brey, cap. 1; Kittel i Kroemer, cap. 1; Stark i Woods, caps. 1–4], si bé el desenvolupament de determinats temes a un nivell més avançat requereix tècniques més complicades [Chandler, caps. 5–8; Huang, caps. 8–10 i 14–18].

      Tal com hem avançat al final de la secció anterior, un pas previ al tractament estadístic consisteix en l'enumeració dels estats microscòpics d'un sistema de N partícules, la qual cosa involucra sovint nombres combinatoris. Efectuada aquesta enumeració, el càlcul de la probabilitat d'un estat i dels valors mitjans de les magnituds físiques necessita els conceptes de probabilitat i distribució de probabilitat. Dedicarem aquesta secció a una breu revisió de la combinatòria matemàtica, i la següent secció a aspectes relacionats amb la probabilitat.

      La taula 1 mostra algunes de les equacions del càlcul combinatori que farem servir al llarg d'aquest curs particularitzades al cas de N objectes («partícules») a distribuir en n capses («nivells» si s'efectua la identificació anterior). Les equacions de la taula 1 corresponen al nombre de disposicions g(N,n) distintes de les N partícules en els n nivells (suposem que no existeix degeneració en els nivells) per al cas de partícules distingibles i indistingibles,2 i es poden justificar sobre la base d'arguments senzills. Per exemple, per a N objectes distingibles a distribuir entre n capses sense cap restricció en el nombre d'objectes per capsa, g(N,n) = nN. Si els objectes foren indistingibles, el problema d'avaluar g(N,n) es redueix ara a comptar el nombre de disposicions possibles per a una sèrie composta per N objectes iguals + (n - 1) parets, ja que n capses contigües suposen (n+1) parets, de les quals la nombre 1 i la (n + 1) ocupen posicions fixes.3 Evidentment, aquest nombre és images Si impo sem la condició d'un sol objecte per capsa, amb n > N, aleshores el nombre de disposicions seria images per a objectes distingibles i images per a objectes indistingibles, ja que el nombre de permutacions que podem realitzar entre els objectes en les capses sense donar lloc a cap disposició nova és precisament N! Finalment, l'equació per a les permutacions amb repetició de N objectes distingibles distribuïts de manera que n'hi ha Ni d'ells en la capsa i es pot obtindré a partir de l'equació

images images

      Si utilitzem la nomenclatura d'estats i partícules, l'existència de degeneracions gi en cada nivell i d'energia εi dóna lloc al fet que a cada nivell li cor- responguen diversos estats, i es pot tractar com es mostra en la taula 2, on hem particularitzat la teoria combinatòria a les tres estadístiques que apareixen en aquest curs: l'estadística clàssica de Maxwell-Boltzmann (MB) i les estadístiques quàntiques de Bose-Einstein (BE) i Fermi-Dirac (FD).

      Quan es consideren distribucions de N partícules en Física Estadística, generalment s'ha d'avaluar no N! sinó lnN!. Quan N » 1 (en sistemes macroscòpics, N ~ NA ≈ 6 x 1023), es pot efectuar la següent aproximació

images images

      Taula 2

images

      Figura 7

      d'on N! ≈ NN e-N. En l' Скачать книгу