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      como queríamos probar.

      El concepto fundamental en ℤ es la divisibilidad. Si a, b ∈ ℤ, con b ≠ 0, decimos que b divide a a si existe c ∈ ℤ tal que cb = a. A menudo se escribe b | a. En tal caso se dice que b es un divisor de a, y notamos que |c||b| = |a| (donde el valor absoluto |a| = a si a ≥ 0 y −a si a < 0). Si a ≠ 0, observamos que |b| ≤ |a|, por lo que concluimos que un entero a no cero solo tiene un número finito de divisores. Dados dos enteros n, m ∈ ℤ no cero, existe por tanto un mayor número natural 1 ≤ d que divide a ambos. Se dice que d es el máximo común divisor de n y m, y se escribe d = mcd(n, m). Si d = 1, entonces n y m se dice que son coprimos.

      Ejercicio 1.5 Si a divide a b y a c, probar que a divide a b + c. Si a divide a b, entonces a divide a bz para todo z ∈ ℤ.

      Teorema 1.13 (máximo comú divisor) Sean n, m ∈ ℤ no cero, y sea d = mcd(n, m).

      (a) Entonces d es el menor elemento del conjunto

      {un + vm | u, v ∈ ℤ, un + vm > 0}.

      En particular, existen enteros u, v ∈ ℤ tales que d = un + vm.

      (b) Si e divide a n y a m, entonces e divide a d.

      Demostración. Consideramos el conjunto

      A = {un + vm | u, v ∈ ℤ, un + vm > 0},

      que claramente no es vacío. (Por ejemplo, si n > 0 y m < 0, n + m² ∈ A). Sea f = un + vm el menor elemento de A. Por el algoritmo de división, n = qf + r con 0 ≤ r < f. Entonces,

      r = n − qf = n − q(un + vm) = (1 − qu)n + (−vq)m.

      Como r < f, esto solo puede ser cierto si r = 0. Deducimos que f divide a n y, análogamente, a m. En particular, f ≤ d, por definición de d. Como n = n₁d, y m = m₁d, tenemos que 0 < f = un₁d + vm₁d = (un₁ + vm₁)d ≥ d, y concluimos que d = f.

      Para la parte (b), si e divide a n y a m, por el ejercicio 1.1, concluimos que e divide a un + vm = d.

      Los números primos son fundamentales en matemáticas. Un número natural p > 1 es primo si no se puede escribir como p = ab, con a, b > 1. Es decir, si sus únicos divisores positivos son 1 y p. Observamos que si p es primo y n ∈ ℕ, entonces mcd(n, p) = 1 o p, pues mcd(n, p) es un divisor de p. Concluimos por tanto que o bien p divide a n o que p y n son coprimos.

      Teorema 1.14 (Euclides) Sean n, m ∈ ℤ no cero.

      (a) n y m son coprimos si y solo si existen u, v ∈ ℤ tales que un + vm = 1.

      (b) Supongamos que n y m son coprimos. Si z ∈ ℤ, entonces n divide mz si y solo si n divide a z.

      (c) Si p es primo, entonces p divide a nm si y solo si p divide a n o a m. En particular, si p divide a un producto de enteros n₁ … n_k, entonces p divide a algún ni.

      Demostración. Si n y m son coprimos, ya sabemos que existen u, v ∈ ℤ tales que un + vm = 1, por el teorema 1.13 (a). Recíprocamente, si un + vm = 1, y d divide a n y a m, por el ejercicio 1.1, d divide a un + vm = 1, y esto completa el apartado (a).

      En (b), supongamos que n divide a mz. Sabemos que 1 = un + vm para ciertos u, v ∈ ℤ, y que existe x ∈ ℤ tal que nx = mz. Ahora,

      z = unz + vmz = unz + vnx = (uz + vx)n,

      y deducimos que n divide a z. La otra implicación es obvia.

      Para probar el apartado (c), si suponemos que p divide a nm y que p no divide a n, tenemos que mcd(p, n) = 1, y aplicamos el apartado (b). La segunda parte del apartado (c) se prueba fácilmente por inducción sobre k.

      Teorema 1.15 (teorema fundamental de la aritmética) Si n > 1 es un entero, entonces n se escribe de forma única como

      donde p₁ < … < p_k son primos, y a₁, …, a_k son números naturales no cero.

      Demostración. Primero probamos la unicidad. Si son dos expresiones como las del teorema, tenemos que p₁ divide deducimos que p₁ divide a cierto q_i por el teorema 1.14 (c). Por tanto, p₁ = q_i, pues q_i es primo. Por el mismo argumento, tenemos que q₁ = p_j para cierto j. Entonces q_i = p₁ ≤ p_j = q₁, por lo que deducimos que i = 1 y p₁ = q₁. Utilizamos el mismo argumento para n/p₁.

      Para probar que cada n > 1 se escribe como producto de primos utilizamos inducción. Si n es primo, ya está. En caso, contrario, n = ab con a, b < n. Por inducción, a y b son producto de primos, y por tanto también lo es n.

      El conjunto de números racionales es

      Suponemos que el lector está familiarizado con la suma y la multiplicación de números racionales, y sus propiedades más elementales. Por ejemplo, si y solo si ad = bc,

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