LITMIR.BIZ

      73

      Первая теорема Геделя о неполноте: во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка существует такая замкнутая формула F, что ни F, ниF не являются выводимыми в этой теории. Иначе говоря, в любой достаточно сложной непротиворечивой теории существует утверждение, которое средствами самой теории невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Например, такое утверждение можно добавить к системе аксиом, оставив ее непротиворечивой. Вторая теорема Геделя о неполноте: во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка формула F, утверждающая непротиворечивость этой теории, не является выводимой в ней. Иными словами, непротиворечивость достаточно богатой теории не может быть доказана средствами этой теории. Однако вполне может оказаться, что непротиворечивость одной конкретной теории может быть установлена средствами другой, более мощной формальной теории. Но тогда встает вопрос о непротиворечивости этой второй теории и т. д. (см. более подробно в работе: Успенский В.А. Теорема Геделя о неполноте в элементарном изложении // Успехи математических наук. 1974. Январь−февраль. Т. XXIX. Вып. 1 (175). С. 1−42; http://scorcher.ru/science/Teorema-Gyodelya-o-nepolnote-Kurt-Gedel. html, дата обращения: 19.05.2017).